Упр.31.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Преобразуем левую часть:

$$x^2+\frac{1}{x^2}-2\ge 0,\quad x\ne 0$$

$$x^2-2+\frac{1}{x^2}\ge 0$$

$$\frac{x^4-2x^2+1}{x^2}\ge 0$$

$$\frac{(x^2-1)^2}{x^2}\ge 0$$

Так как числитель — квадрат, а знаменатель при $$x\ne 0$$ положителен, то неравенство верно.

б) Преобразуем выражение:

$$\frac{a^4}{1+a^8}\le \frac12$$

$$\frac12-\frac{a^4}{1+a^8}\ge 0$$

$$\frac{1+a^8-2a^4}{2(1+a^8)}\ge 0$$

$$\frac{a^8-2a^4+1}{2(1+a^8)}\ge 0$$

$$\frac{(a^4-1)^2}{2(1+a^8)}\ge 0$$

Знаменатель положителен при любом $$a$$, а числитель — квадрат, значит неравенство верно.

Ответ

а) $$x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$$ при $$x\ne 0$$; б) $$\frac{a^4}{1+a^8}\le \frac12$$.