Упр.30.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 30.9 а)корень sinx=корень cosx; в)корень (2-(корень 3) sin2x) = корень cos2x; б)корень 2-tgx=корень ctgx; г)корень tgx=корень ctgx.

1. а)

   $$\sqrt{\sin x}=\sqrt{\cos x}$$
   $$\sin x=\cos x,$$
   при этом
   $$\sin x\ge 0,\quad \cos x\ge 0.$$
   Из равенства $$\sin x=\cos x$$ получаем
   $$\tg x=1,$$
   значит,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Проверка области определения показывает, что эти значения подходят.

2. б)

   $$\sqrt{2-\tg x}=\sqrt{\ctg x}$$
   $$2-\tg x=\ctg x,$$
   при этом
   $$2-\tg x\ge 0,\quad \ctg x\ge 0.$$
   Умножим уравнение на $$\tg x$$:
   $$ 2\tg x-\tg^2 x=1. $$
   Тогда
   $$ \tg^2 x-2\tg x+1=0, $$
   $$ (\tg x-1)^2=0, $$
   откуда
   $$\tg x=1.$$
   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Эти значения удовлетворяют области определения.

3. в)

   $$\sqrt{2-\sqrt3\sin 2x}=\sqrt{\cos 2x}$$
   $$2-\sqrt3\sin 2x=\cos 2x,$$
   при этом
   $$\cos 2x\ge 0.$$
   Перенесём:
   $$ \cos 2x+\sqrt3\sin 2x=2. $$
   Разделим на 2:
   $$ \frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x=1. $$
   Тогда
   $$ \sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)=1. $$
   Значит,
   $$ \frac{\pi}{6}+2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$
   $$ 2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n, $$
   $$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
   Эти значения удовлетворяют области определения.

4. г)

   $$\sqrt{\tg x}=\sqrt{\ctg x}$$
   $$\tg x=\ctg x,$$
   при этом
   $$\tg x\ge 0,\quad \ctg x\ge 0.$$
   Умножим на $$\tg x$$:
   $$ \tg^2 x=1, $$
   откуда
   $$ \tg x=\pm 1. $$
   С учётом области определения остаётся
   $$\tg x=1,$$
   значит,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

в) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$