Упр.30.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.8. Решите уравнение: а) корень х — 2 = корень 4 — х; б) корень х3 — 2х2 + 1 = корень х3 + х2 — 8х — 2; в) корень 25 — x2 = корень 5х — 11; г) корень х3 — x2 = корень 2 — x — x2.

Подробный ответ

$$\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x-2=4-x$$
$$2x=6$$
$$x=3$$
Проверим область определения:
$$x-2\ge 0,\quad 4-x\ge 0$$
$$2\le x\le 4$$
Число $$3$$ подходит.
$$\sqrt{x^3-2x^2+1}=\sqrt{x^3+x^2-8x-2}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^3-2x^2+1=x^3+x^2-8x-2$$
$$3x^2-8x-3=0$$
$$D= (-8)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=64+36=100$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{6}$$
$$x_1=3,\quad x_2=-\frac13$$
Проверим область определения:
$$x^3-2x^2+1\ge 0$$
$$x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2-x-1)$$
Корни квадратного трёхчлена:
$$x=\frac{1\pm \sqrt5}{2}$$
Отсюда $$x=-\frac13$$ и $$x=3$$ удовлетворяют ОДЗ.
$$\sqrt{25-x^2}=\sqrt{5x-11}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$25-x^2=5x-11$$
$$x^2+5x-36=0$$
$$D=5^2+4\cdot 36=25+144=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{2}$$
$$x_1=-9,\quad x_2=4$$
Проверим область определения:
$$25-x^2\ge 0,\quad 5x-11\ge 0$$
$$-5\le x\le 5,\quad x\ge \frac{11}{5}$$
Подходит только $$x=4$$.
$$\sqrt{x^3-x^2}=\sqrt{2-x-x^2}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^3-x^2=2-x-x^2$$
$$x^3+x-2=0$$
$$x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2)$$
Квадратный трёхчлен $$x^2+x+2$$ не имеет действительных корней, так как
$$D=1-8=-7<0$$
Значит, единственный действительный корень:
$$x=1$$
Проверка области определения:
$$x^3-x^2\ge 0,\quad 2-x-x^2\ge 0$$
$$x^2(x-1)\ge 0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x\ge 1$$. Число $$1$$ подходит.