Упр.30.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Докажем равносильность уравнения

$$\sqrt{f(x)}=\sqrt{h(x)}$$

системам

$$\begin{cases}f(x)=h(x)\\ f(x)\ge 0\end{cases} \qquad \begin{cases}f(x)=h(x)\\ h(x)\ge 0\end{cases}$$

1) Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\left(\sqrt{f(x)}\right)^2=\left(\sqrt{h(x)}\right)^2,$$

откуда получаем

$$f(x)=h(x).$$

2) Чтобы исходное уравнение имело смысл, необходимо выполнение условий

$$f(x)\ge 0,\qquad h(x)\ge 0.$$

3) Если $$f(x)=h(x),$$ то достаточно проверить одно из неравенств, так как при равенстве функций из одного условия следует другое.

Следовательно, уравнение $$\sqrt{f(x)}=\sqrt{h(x)}$$ равносильно каждой из систем

$$\begin{cases}f(x)=h(x)\\ f(x)\ge 0\end{cases} \qquad \begin{cases}f(x)=h(x)\\ h(x)\ge 0\end{cases}.$$

Ответ

$$\sqrt{f(x)}=\sqrt{h(x)} \iff \begin{cases}f(x)=h(x)\\ f(x)\ge 0\end{cases} \iff \begin{cases}f(x)=h(x)\\ h(x)\ge 0\end{cases}.$$