Упр.30.65 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{2ax-x^2}\ge a-x,\qquad a>0.$$

Чтобы избавиться от корня, сначала найдём область, где обе части неотрицательны:

$$2ax-x^2\ge 0,$$

$$a-x\le 0.$$

Из первого неравенства:

$$x(2a-x)\ge 0 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 2a.$$

Из второго:

$$x\ge a.$$

Значит, нужно решить систему

$$a\le x\le 2a.$$

Теперь возведём исходное неравенство в квадрат:

$$2ax-x^2\ge (a-x)^2.$$

$$2ax-x^2\ge a^2-2ax+x^2.$$

$$2x^2-4ax+a^2\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-4a)^2-4\cdot 2\cdot a^2=16a^2-8a^2=8a^2,$$

$$x_{1,2}=\frac{4a\pm \sqrt{8a^2}}{4}=a\pm \frac{a\sqrt2}{2}.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то

$$a-\frac{a\sqrt2}{2}\le x\le a+\frac{a\sqrt2}{2}.$$

Пересечём это с найденной областью $$a\le x\le 2a$$:

$$a\le x\le a+\frac{a\sqrt2}{2}.$$

Чтобы решение содержало два отрезка, нужно, чтобы длина этого промежутка была больше 2:

$$a+\frac{a\sqrt2}{2}-a>2,$$

$$\frac{a\sqrt2}{2}>2,$$

$$a>2.$$

Ответ

$$a>2.$$