Упр.30.63 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а)

$$\sqrt{1-\tg x}=-\frac{1}{\cos x}$$

Так как левая часть неотрицательна, то правая часть тоже должна быть неотрицательной. Значит, $$\cos x<0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1-\tg x=\frac{1}{\cos^2 x}$$
$$-\tg x=\frac{1}{\cos^2 x}-1$$
$$-\tg x=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\tg^2 x$$
$$\tg^2 x+\tg x=0$$
$$\tg x(\tg x+1)=0$$

Отсюда:

$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$

Проверим с учётом условия $$\cos x<0$$:

$$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,$$
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Из этих значений условию $$\cos x<0$$ удовлетворяют:

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\sqrt{4+\ctg x}-\frac{2}{\sin x}=0$$
$$\sqrt{4+\ctg x}=\frac{2}{\sin x}$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$\sin x>0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4+\ctg x=\frac{4}{\sin^2 x}$$
$$\ctg x=\frac{4}{\sin^2 x}-4$$
$$\ctg x=\frac{4-4\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{4\cos^2 x}{\sin^2 x}=4\ctg^2 x$$
$$4\ctg^2 x-\ctg x=0$$
$$\ctg x(4\ctg x-1)=0$$

Отсюда:

$$\ctg x=0 \quad \text{или} \quad \ctg x=\frac14.$$

С учётом условия $$\sin x>0$$ получаем:

$$\ctg x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\ctg x=\frac14 \Rightarrow x=\operatorname{arcctg}\frac14+2\pi n,$$
$$n\in\mathbb Z.$$