Упр.30.62 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.62. Решите неравенство: а) корень x+3 больше или равно (x+3)/(x+1); в) корень x+2 больше или равно x+2a; б)корень x+2 > (4-x)/(x-1); г)корень 2x+3 < 2x/(1-x).

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x+3}\ge \frac{x+3}{x+1}.$$

Область определения: $$x+3\ge 0,\quad x\ne -1.$$

Если $$\frac{x+3}{x+1}\le 0,$$ то неравенство выполняется при $$x+3\ge 0.$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{x+3}{x+1}\le 0,\\ x+3\ge 0 \end{cases} $$

Получаем:

$$-3\le x<-1.$$

Если $$\frac{x+3}{x+1}\ge 0,$$ то после возведения в квадрат:

$$ x+3\ge \frac{(x+3)^2}{(x+1)^2}. $$

Так как $$x+3\ge 0,$$ умножим на $$ (x+1)^2>0 $$:

$$ (x+3)(x+1)^2-(x+3)^2\ge 0. $$

$$ (x+3)\bigl((x+1)^2-(x+3)\bigr)\ge 0 $$

$$ (x+3)(x^2+x-2)\ge 0 $$

$$ (x+3)(x+2)(x-1)\ge 0. $$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in[-3;-1)\cup[1;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x+2}>\frac{4-x}{x-1}.$$

Область определения: $$x+2\ge 0,\quad x\ne 1.$$

Если $$\frac{4-x}{x-1}<0,$$ то неравенство выполняется при $$x+2\ge 0.$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{4-x}{x-1}<0,\\ x+2\ge 0 \end{cases} $$

Получаем:

$$-2\le x<1\quad \text{или}\quad x>4.$$

Если $$\frac{4-x}{x-1}\ge 0,$$ то возводим в квадрат:

$$ x+2>\frac{(4-x)^2}{(x-1)^2}. $$

После преобразований:

$$ (x+2)(x-1)^2-(4-x)^2>0 $$

$$ x^3-x^2+5x-14>0 $$

$$ (x-2)(x^2+x+7)>0. $$

Так как $$x^2+x+7>0$$ при всех $$x,$$ то

$$x>2.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in[-2;1)\cup(2;+\infty).$$

в) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x+4}\le \frac{x+4}{x+2}.$$

Область определения: $$x+4\ge 0,\quad x\ne -2.$$

Если $$\frac{x+4}{x+2}\ge 0,$$ то после возведения в квадрат:

$$ x+4\le \frac{(x+4)^2}{(x+2)^2}. $$

Умножим на $$ (x+2)^2>0 $$:

$$ (x+4)(x+2)^2-(x+4)^2\le 0 $$

$$ (x+4)(x+3)x\le 0. $$

Отсюда:

$$x\le -4,\quad -3\le x\le 0,\quad x\ne -2.$$

С учётом условия $$\frac{x+4}{x+2}\ge 0$$ получаем:

$$x\in\{-4\}\cup(-2;0].$$

г) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{2x+3}<\frac{2x}{1-x}.$$

Область определения: $$2x+3\ge 0,\quad x\ne 1.$$

Если $$\frac{2x}{1-x}>0,$$ то после возведения в квадрат:

$$ 2x+3<\frac{4x^2}{(1-x)^2}. $$

После преобразований:

$$ (2x+3)(1-x)^2-4x^2<0 $$

$$ 2x^3-5x^2-4x+3<0 $$

$$ (x+1)(2x^2-7x+3)<0 $$

$$ (x+1)(2x-1)(x-3)<0. $$

С учётом ОДЗ и условия $$\frac{2x}{1-x}>0$$ получаем:

$$x\in\left(\frac12;1\right).$$

Ответ

а) $$x\in[-3;-1)\cup[1;+\infty)$$; б) $$x\in[-2;1)\cup(2;+\infty)$$; в) $$x\in\{-4\}\cup(-2;0]$$; г) $$x\in\left(\frac12;1\right).$$