Упр.30.61 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.61. Для каждого значения параметра а решите неравенство: a) корень x — а < 1 - х; б) корень x + 2 больше или равно x + 2а.

а) Область определения: $$x-a\ge 0,$$ то есть $$x\ge a.$$

Возведём неравенство в квадрат:

$$ \sqrt{x-a}<1-x \;\Longrightarrow\; x-a<(1-x)^2 $$

$$ x-a<1-2x+x^2 $$

$$ x^2-3x+a+1>0. $$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$ D=9-4(a+1)=5-4a, $$

$$ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5-4a}}{2}. $$

Тогда

$$ x<\frac{3-\sqrt{5-4a}}{2} \quad \text{или} \quad x>\frac{3+\sqrt{5-4a}}{2}. $$

С учётом ОДЗ и условия $$1-x>0$$, то есть $$x<1,$$ получаем:

если $$a<1,$$ то

$$ x\in\left[a;\,\frac{3-\sqrt{5-4a}}{2}\right); $$

если $$a\ge 1,$$ то решений нет.

б) Область определения: $$x+2\ge 0,$$ то есть $$x\ge -2.$$

Возведём неравенство в квадрат:

$$ \sqrt{x+2}\ge x+2a \;\Longrightarrow\; x+2\ge (x+2a)^2 $$

$$ x^2+(4a-1)x+4a^2-2\le 0. $$

Найдём корни:

$$ D=(4a-1)^2-4(4a^2-2)=9-8a, $$

$$ x_{1,2}=\frac{1-4a\pm\sqrt{9-8a}}{2}. $$

Если $$a>\frac98,$$ то $$D<0$$ и решений нет.

Если $$a=\frac98,$$ то

$$ x=\frac{1-4\cdot\frac98}{2}=-\frac74. $$

Если $$a<\frac98,$$ то

$$ \frac{1-4a-\sqrt{9-8a}}{2}\le x\le \frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}. $$

С учётом условия $$x\ge -2$$ получаем:

если $$a<1,$$ то

$$ x\in\left[-2;\,\frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}\right]; $$

если $$1\le a<\frac98,$$ то

$$ x\in\left[\frac{1-4a-\sqrt{9-8a}}{2};\,\frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}\right]; $$

если $$a=\frac98,$$ то $$x=-\frac74;$$

если $$a>\frac98,$$ то решений нет.

Ответ

а) если $$a<1,$$ то $$x\in\left[a;\,\frac{3-\sqrt{5-4a}}{2}\right);$$ если $$a\ge 1,$$ то решений нет.

б) если $$a<1,$$ то $$x\in\left[-2;\,\frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}\right];$$ если $$1\le a<\frac98,$$ то $$x\in\left[\frac{1-4a-\sqrt{9-8a}}{2};\,\frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}\right];$$ если $$a=\frac98,$$ то $$x=-\frac74;$$ если $$a>\frac98,$$ то решений нет.