Упр.30.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.60 1/(корень (x+1) — 1) + 2/(корень (2x+3) — корень 3)+3/(корень (3x+7) — корень 7) > (10+корень 3+корень 7)/x.

Подробный ответ

Преобразуем каждую дробь в левой части:

$$ \frac{1}{\sqrt{x+1}-1}=\frac{\sqrt{x+1}+1}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{\sqrt{x+1}+1}{x}, $$
$$ \frac{2}{\sqrt{2x+3}-\sqrt3}=\frac{2(\sqrt{2x+3}+\sqrt3)}{(2x+3)-3}=\frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt3}{x}, $$
$$ \frac{3}{\sqrt{3x+7}-\sqrt7}=\frac{3(\sqrt{3x+7}+\sqrt7)}{(3x+7)-7}=\frac{\sqrt{3x+7}+\sqrt7}{x}. $$

Тогда неравенство принимает вид

$$ \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}}{x}>\frac{9}{x}. $$

Область определения:

$$ x+1\ge 0,\quad 2x+3\ge 0,\quad 3x+7\ge 0, $$
откуда
$$ x\ge -1. $$
Кроме того, $x\ne 0$.

Рассмотрим два случая.

Если $$x>0$$, то можно умножить неравенство на $$x$$ без изменения знака:
$$ \sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}>9. $$
Функция
$$ f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7} $$
возрастает на своей области определения. Найдём точку, в которой $$f(x)=9$$:
$$ f(3)=\sqrt4+\sqrt9+\sqrt{16}=2+3+4=9. $$
Значит, при $$x>0$$ неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $$x>3$$.
Если $$x<0$$, то при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$$ \sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}<9. $$
На промежутке $$[-1;0)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а значит, так как $$f(3)=9$$, получаем
$$ \sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}<9 $$ для всех $$x\in[-1;0)$$.

Объединяя результаты, получаем:

$$ x\in[-1;0)\cup(3;+\infty). $$