Упр.30.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.6. Найдите все действительные значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один действительный корень: а)корень x-4=2-a; в)корень 16-x2=a+1; б)корень 5 степени x2-2x-7=1-a; г)корень 5 степени 1-4x-x2=a.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x-4}=2-a$$
Левая часть неотрицательна, значит правая часть тоже должна быть неотрицательной:
$$2-a\ge 0$$
$$a\le 2$$
б) $$\sqrt[5]{x^2-2x-7}=1-a$$
Функция $$\sqrt[5]{t}$$ определена при любых $$t$$, а её значения могут быть любыми действительными числами. Нужно лишь, чтобы уравнение имело хотя бы один корень по $$x$$.
Выражение под корнем:
$$x^2-2x-7=(x-1)^2-8$$
Минимум равен $$-8$$, значит
$$\sqrt[5]{x^2-2x-7}\ge \sqrt[5]{-8}=-\sqrt[5]{8}$$
Чтобы уравнение имело решение, правая часть должна быть не меньше этого значения:
$$1-a\ge -\sqrt[5]{8}$$
$$a\le 1+\sqrt[5]{8}$$
в) $$\sqrt{16-x^2}=a+1$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$16-x^2\ge 0$$
Отсюда
$$0\le \sqrt{16-x^2}\le 4$$
Значит, правая часть тоже должна лежать в этом промежутке:
$$0\le a+1\le 4$$
$$-1\le a\le 3$$
г) $$\sqrt[5]{1-4x-x^2}=a$$
Рассмотрим выражение под корнем:
$$1-4x-x^2=5-(x+2)^2$$
Его наибольшее значение равно $$5$$, значит
$$1-4x-x^2\le 5$$
Следовательно,
$$\sqrt[5]{1-4x-x^2}\le \sqrt[5]{5}$$
Чтобы уравнение имело хотя бы один действительный корень, нужно
$$a\le \sqrt[5]{5}$$