Упр.30.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

$$\sqrt{x+\frac78+\sqrt{8x+3}+2\sqrt[3]{x}}<6-16x$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{x+\frac78+\sqrt{8x+3}+2\sqrt[3]{x}}, \qquad g(x)=6-16x.$$
Область определения:
$$8x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -\frac38.$$
На промежутке $$\left[-\frac38;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, неравенство выполняется слева от точки их пересечения.
Найдём точку пересечения:
$$f\!\left(\frac18\right)=\sqrt{\frac18+\frac78+\sqrt{1+3}+2\sqrt[3]{\frac18}}=\sqrt{1+2+1}=4,$$
$$g\!\left(\frac18\right)=6-16\cdot\frac18=4.$$
Следовательно,
$$x\in\left[-\frac38;\frac18\right).$$
$$\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x}>12-x-\sqrt{17-x}$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x}, \qquad g(x)=12-x-\sqrt{17-x}.$$
Область определения:
$$3x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -\frac13, \qquad 17-x\ge 0 \Rightarrow x\le 17.$$
Значит,
$$x\in\left[-\frac13;17\right].$$
На этом промежутке $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, поэтому неравенство выполняется правее точки их пересечения.
Проверим точку $$x=1$$:
$$f(1)=\sqrt{3\cdot1+1}+5\sqrt[3]{1}=2+5=7,$$
$$g(1)=12-1-\sqrt{17-1}=11-4=7.$$
Следовательно,
$$x\in(1;17].$$
$$\sqrt{x+\frac78+\sqrt{8x+3}+2\sqrt[3]{x}}\ge 6-16x$$
По тем же рассуждениям, что и в пункте а), точка пересечения функций — $$x=\frac18$$, а на области определения
$$x\in\left[-\frac38;+\infty\right)$$
неравенство выполняется начиная с этой точки.
Поэтому
$$x\in\left[\frac18;+\infty\right).$$
$$\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x}\le 12-x-\sqrt{17-x}$$
По тем же рассуждениям, что и в пункте б), точка пересечения функций — $$x=1$$, а на области определения
$$x\in\left[-\frac13;17\right]$$
неравенство выполняется слева от этой точки.
Следовательно,
$$x\in\left[-\frac13;1\right].$$