Упр.30.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.56. a) корень -3x + 12 < 3x; б) корень 5 + 12*5x - 25x > 5x — 7; в) корень 7 — 0,2x меньше или равно 0,2x — 1; г) 5 корень 100x — 2 больше или равно 4(x + 1) * 25x — 14.

1. а)

   $$\sqrt{-3^x+12}<3^x$$
   $$-3^x+12<3^{2x}$$
   $$3^{2x}+3^x-12>0$$
   Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
   $$t^2+t-12>0$$
   $$\left(t+4\right)\left(t-3\right)>0$$
   Отсюда $$t>3$$, то есть $$3^x>3$$, значит $$x>1$$.

   Учитываем область определения:
   $$-3^x+12\ge 0$$
   $$3^x\le 12$$
   $$x\le \log_3 12$$

   Следовательно,
   $$x\in(1;\log_3 12].$$

2. б)

   $$\sqrt{5+12\cdot 5^x-25^x}>5^x-7$$
   Введём замену $$y=5^x$$, тогда $$y>0$$ и $$25^x=y^2$$. Получаем:
   $$\sqrt{5+12y-y^2}>y-7$$

   Рассмотрим два условия:
   $$5+12y-y^2\ge 0$$
   $$y-7<\sqrt{5+12y-y^2}$$

   Если $$y<7$$, то правая часть отрицательна, и неравенство выполняется при условии существования корня:
   $$5+12y-y^2\ge 0$$
   $$y^2-12y-5\le 0$$
   Корни:
   $$y_{1,2}=6\pm \sqrt{41}$$
   Значит,
   $$6-\sqrt{41}\le y\le 6+\sqrt{41}.$$
   С учётом $$0<y<7$$ получаем:
   $$0<y<7.$$

   Если $$y\ge 7$$, то можно возвести в квадрат:
   $$5+12y-y^2>(y-7)^2$$
   $$5+12y-y^2>y^2-14y+49$$
   $$2y^2-26y+44<0$$
   $$y^2-13y+22<0$$
   $$\left(y-2\right)\left(y-11\right)<0$$
   $$2<y<11.$$

   Объединяя, получаем:
   $$0<y<11.$$
   Возвращаясь к $$y=5^x$$, имеем:
   $$5^x<11$$
   $$x<\log_5 11.$$

3. в)

   $$\sqrt{7-0{,}2^x}\le 0{,}2^x-1$$
   Обозначим $$t=0{,}2^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$\sqrt{7-t}\le t-1$$

   Так как левая часть неотрицательна, то необходимо:
   $$t-1\ge 0$$
   $$t\ge 1.$$
   Возводим в квадрат:
   $$7-t\le (t-1)^2$$
   $$7-t\le t^2-2t+1$$
   $$t^2-t-6\ge 0$$
   $$\left(t-3\right)\left(t+2\right)\ge 0.$$
   С учётом $$t>0$$ и $$t\ge 1$$ получаем:
   $$t\ge 3.$$

   Значит,
   $$0{,}2^x\ge 3$$
   $$x\le \log_{0{,}2}3.$$
   Также из области определения:
   $$7-0{,}2^x\ge 0$$
   $$0{,}2^x\le 7$$
   $$x\ge \log_{0{,}2}7.$$
   Поэтому
   $$x\in[\log_{0{,}2}7;\log_{0{,}2}3].$$

4. г)

   $$5\sqrt{100^x-2}\ge 4^{x+1}\cdot 25^x-14$$
   Заметим, что
   $$4^{x+1}\cdot 25^x=4\cdot 100^x.$$
   Тогда
   $$5\sqrt{100^x-2}\ge 4\cdot 100^x-14.$$
   Обозначим $$t=100^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$5\sqrt{t-2}\ge 4t-14.$$

   Сначала найдём область определения:
   $$t-2\ge 0$$
   $$t\ge 2.$$
   Если $$4t-14\le 0$$, то неравенство выполняется автоматически при $$t\ge 2$$:
   $$t\le 3{,}5.$$
   Если $$4t-14>0$$, возводим в квадрат:
   $$25(t-2)\ge (4t-14)^2$$
   $$25t-50\ge 16t^2-112t+196$$
   $$16t^2-137t+246\le 0.$$

   Корни:
   $$D=137^2-4\cdot 16\cdot 246=3025,$$
   $$t_{1,2}=\frac{137\pm 55}{32}.$$
   Тогда
   $$t_1=\frac{41}{16},\qquad t_2=6.$$
   Следовательно,
   $$\frac{41}{16}\le t\le 6.$$
   С учётом $$t\ge 2$$ получаем:
   $$2\le t\le 6.$$

   Возвращаясь к $$t=100^x$$:
   $$2\le 100^x\le 6$$
   $$\log_{100}2\le x\le \log_{100}6.$$

Ответ

а) $$x\in(1;\log_3 12]$$;
б) $$x<\log_5 11$$;
в) $$x\in[\log_{0{,}2}7;\log_{0{,}2}3]$$;
г) $$x\in[\log_{100}2;\log_{100}6]$$.