Упр.30.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.55. a) sinx корень cosx + cos корень sinx меньше или равно 0; б) (sinx + cosx) корень cosx + cosx корень(sinx + cosx) больше или равно 0.

а) Рассмотрим неравенство $$\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}\le 0.$$

Область определения задаётся условиями

$$\sin x\ge 0,\qquad \cos x\ge 0.$$

Значит, $$x\in\left[2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

На этой области оба слагаемых неотрицательны, поэтому сумма не может быть меньше нуля. Следовательно, неравенство выполняется только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

С учётом ОДЗ получаем

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(\sin x+\cos x\right)\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x+\cos x}\ge 0.$$

Область определения:

$$\cos x\ge 0,\qquad \sin x+\cos x\ge 0.$$

Введём замену: $$t=\tan x.$$ Тогда при $$\cos x>0$$ имеем

$$\sin x+\cos x=\cos x(\tan x+1),$$

и условие $$\sin x+\cos x\ge 0$$ равносильно

$$\tan x\ge -1.$$

Совместно с $$\cos x\ge 0$$ получаем

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этом левая часть неравенства неотрицательна на всей области определения, значит решение совпадает с ОДЗ.

Итак,

$$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$