Упр.30.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.54. a) x корень (x+1)/x+ (х +1) корень x/(x+1) меньше или равно 2 корень 2; б) (х — 5)корень (x+2)/(x-5) + (х + 2) корень (x-5)/(x+2) больше или равно 4корень2.

а) Рассмотрим неравенство

$$x\sqrt{\frac{x+1}{x}}+(x+1)\sqrt{\frac{x}{x+1}}\le 2\sqrt2.$$

Область определения задаётся условиями

$$\frac{x+1}{x}\ge 0,\qquad \frac{x}{x+1}\ge 0,$$

откуда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>0.$$

Преобразуем левую часть:

$$x\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\sqrt{x(x+1)},\qquad (x+1)\sqrt{\frac{x}{x+1}}=\sqrt{x(x+1)}.$$

Тогда

$$2\sqrt{x(x+1)}\le 2\sqrt2,$$

$$\sqrt{x(x+1)}\le \sqrt2,$$

$$x(x+1)\le 2,$$

$$x^2+x-2\le 0,$$

$$ (x+2)(x-1)\le 0,$$

$$-2\le x\le 1.$$

Пересекаем с областью определения:

$$[-2;1]\cap\bigl((-\infty;-1)\cup(0;+\infty)\bigr)=(-\infty;-1)\cup(0;1].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$ (x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}}+(x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}}\ge 4\sqrt2.$$

Область определения:

$$\frac{x+2}{x-5}\ge 0,\qquad \frac{x-5}{x+2}\ge 0,$$

откуда

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>5.$$

Преобразуем левую часть:

$$ (x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}}=\sqrt{(x-5)(x+2)},$$

$$ (x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}}=\sqrt{(x-5)(x+2)}.$$

Тогда

$$2\sqrt{(x-5)(x+2)}\ge 4\sqrt2,$$

$$\sqrt{(x-5)(x+2)}\ge 2\sqrt2,$$

$$ (x-5)(x+2)\ge 8,$$

$$x^2-3x-10\ge 8,$$

$$x^2-3x-18\ge 0,$$

$$ (x+3)(x-6)\ge 0,$$

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 6.$$

Пересекаем с областью определения:

$$\bigl((-\infty;-2)\cup(5;+\infty)\bigr)\cap\bigl((-\infty;-3]\cup[6;+\infty)\bigr)=(-\infty;-3]\cup[6;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1].$$

б) $$x\in(-\infty;-3]\cup[6;+\infty).$$