Упр.30.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.53. а) корень 2-х — корень 3 степени 3х + 5 < 3;б) корень 2х - 1 + корень 3 степени x+7 больше или равно 3.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{2-x}-\sqrt[3]{3x+5}<3.$$

Перенесём второй корень вправо:

$$\sqrt{2-x}<3+\sqrt[3]{3x+5}.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{2-x}, \qquad g(x)=3+\sqrt[3]{3x+5}.$$

Область определения: $$2-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 2.$$

Функция $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;2],$$ а функция $$g(x)$$ возрастает на всей числовой прямой. Значит, они пересекаются не более чем в одной точке.

Найдём точку пересечения:

$$\sqrt{2-x}=3+\sqrt[3]{3x+5}.$$

Проверим значение $$x=-2$$:

$$f(-2)=\sqrt{2-(-2)}=\sqrt4=2,$$

$$g(-2)=3+\sqrt[3]{3\cdot(-2)+5}=3+\sqrt[3]{-1}=3-1=2.$$

Значит, точка пересечения — $$x=-2.$$

Так как $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, то неравенство выполняется при

$$x\in(-2;2].$$

б) $$\sqrt{2x-1}+\sqrt[3]{x+7}\ge 3.$$

Перенесём кубический корень вправо:

$$\sqrt{2x-1}\ge 3-\sqrt[3]{x+7}.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{2x-1}, \qquad g(x)=3-\sqrt[3]{x+7}.$$

Область определения:

$$2x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac12.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right),$$ а функция $$g(x)$$ убывает на всей числовой прямой. Следовательно, они пересекаются не более чем в одной точке.

Найдём точку пересечения:

$$\sqrt{2x-1}=3-\sqrt[3]{x+7}.$$

Проверим $$x=1$$:

$$f(1)=\sqrt{2\cdot1-1}=\sqrt1=1,$$

$$g(1)=3-\sqrt[3]{1+7}=3-2=1.$$

Значит, точка пересечения — $$x=1.$$

Так как $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, то неравенство выполняется при

$$x\in[1;+\infty).$$