Упр.30.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.52 а)корень (2x+3)/(2x-1) + 4* корень (2x-1)/(2x+3) > 4; б)5*корень(x+3)/(5x-1) +корень(5x-1)/(2x+3) < 6.

Подробный ответ

а) Обозначим
$$y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}, \qquad y>0.$$
Тогда неравенство принимает вид
$$y+\frac{4}{y}>4.$$
Умножим на $$y>0$$:
$$y^2-4y+4>0,$$
$$\left(y-2\right)^2>0.$$
Значит, $$y\neq 2$$. Кроме того, выражение под корнем должно быть положительным:
$$\frac{2x+3}{2x-1}>0,$$
откуда
$$x<-\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x>\frac12.$$
Условие $$y\neq 2$$ даёт
$$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}\neq 2,$$
$$\frac{2x+3}{2x-1}\neq 4,$$
$$2x+3\neq 8x-4,$$
$$6x\neq 7,$$
$$x\neq \frac76.$$
Итак,
$$x\in\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left(\frac12;\frac76\right)\cup\left(\frac76;+\infty\right).$$
б) Обозначим
$$y=\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}, \qquad y>0.$$
Тогда неравенство перепишется так:
$$5y+\frac{1}{y}<6.$$
Умножим на $$y>0$$:
$$5y^2-6y+1<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=36-20=16,$$
$$y_1=\frac{6-4}{10}= \frac15,\qquad y_2=\frac{6+4}{10}=1.$$
Тогда
$$\left(5y-1\right)\left(y-1\right)<0,$$
$$\frac15<y<1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac15<\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}<1.$$
Так как обе части положительны, возводим в квадрат:
$$\frac1{25}<\frac{5x-1}{x+3}<1.$$
Решаем по отдельности:
$$\frac{5x-1}{x+3}>\frac1{25},$$
$$\frac{25(5x-1)-(x+3)}{x+3}>0,$$
$$\frac{124x-28}{x+3}>0,$$
$$\frac{31x-7}{x+3}>0,$$
откуда
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>\frac{7}{31}.$$
И
$$\frac{5x-1}{x+3}<1,$$
$$\frac{4x-4}{x+3}<0,$$
$$\frac{x-1}{x+3}>0,$$
откуда
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Пересечение полученных множеств:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$