Упр.30.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\sqrt{x^2+x}\le 3(x^2+x)-4.$$
   Обозначим
   $$t=x^2+x,\qquad t\ge 0.$$
   Тогда получаем неравенство
   $$\sqrt{t}\le 3t-4.$$

   Так как левая часть неотрицательна, то обязательно
   $$3t-4\ge 0,\qquad t\ge \frac43.$$
   При этом можно возвести неравенство в квадрат:
   $$t\le (3t-4)^2.$$
   Но удобнее рассмотреть его как квадратное относительно $$y=\sqrt{t}$$:
   $$y\le 3y^2-4,$$
   $$3y^2-y-4\ge 0.$$
   Корни:
   $$D=1+48=49,$$
   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{6},\qquad y_1=-1,\quad y_2=\frac43.$$
   Так как $$y=\sqrt{t}\ge 0,$$ то
   $$y\ge \frac43.$$

   Возвращаемся к $$t$$:
   $$\sqrt{x^2+x}\ge \frac43,$$
   $$x^2+x\ge \frac{16}{9},$$
   $$9x^2+9x-16\ge 0.$$
   Найдём корни:
   $$D=9^2+4\cdot 9\cdot 16=81+576=657=9\cdot 73,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-9\pm \sqrt{657}}{18}=\frac{-9\pm 3\sqrt{73}}{18}=\frac{-3\pm \sqrt{73}}{6}.$$
   Тогда
   $$x\le \frac{-3-\sqrt{73}}{6}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{-3+\sqrt{73}}{6}.$$

2. $$x+3+\sqrt{2x^2-x-1}\ge 2x^2.$$
   Перенесём:
   $$\sqrt{2x^2-x-1}\ge 2x^2-x-3.$$
   Обозначим
   $$t=2x^2-x-1,\qquad t\ge 0.$$
   Тогда
   $$\sqrt{t}\ge t-2.$$

   Рассмотрим два случая.

   Если $$t-2\le 0,$$ то неравенство выполняется при всех $$t\ge 0,$$ то есть
   $$0\le t\le 2.$$
   Тогда
   $$0\le 2x^2-x-1\le 2.$$
   Из первого:
   $$2x^2-x-1\ge 0,$$
   $$ (2x+1)(x-1)\ge 0,$$
   $$x\le -\frac12 \quad \text{или}\quad x\ge 1.$$
   Из второго:
   $$2x^2-x-3\le 0,$$
   $$D=1+24=25,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4},\qquad x_1=-1,\quad x_2=\frac32,$$
   значит
   $$-1\le x\le \frac32.$$
   Пересечение даёт
   $$x\in \left[-1,-\frac12\right]\cup \left[1,\frac32\right].$$

   Если $$t-2\ge 0,$$ то можно возвести в квадрат:
   $$t\ge (t-2)^2,$$
   $$t^2-5t+4\le 0,$$
   $$ (t-1)(t-4)\le 0,$$
   $$1\le t\le 4.$$
   С учётом $$t\ge 2$$ получаем
   $$2\le t\le 4.$$
   Тогда
   $$2\le 2x^2-x-1\le 4.$$
   Из левой части:
   $$2x^2-x-3\ge 0,$$
   $$x\le -1 \quad \text{или}\quad x\ge \frac32.$$
   Из правой части:
   $$2x^2-x-5\le 0,$$
   $$D=1+40=41,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{41}}{4}.$$
   Значит
   $$\frac{1-\sqrt{41}}{4}\le x\le \frac{1+\sqrt{41}}{4}.$$
   Пересечение даёт
   $$x\in \left[\frac{1-\sqrt{41}}{4},-1\right]\cup \left[\frac32,\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right].$$

   Объединяя оба случая, получаем
   $$x\in \left[\frac{1-\sqrt{41}}{4},-\frac12\right]\cup \left[1,\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right].$$

Ответ

а) $$x\in \left(-\infty,\frac{-3-\sqrt{73}}{6}\right]\cup \left[\frac{-3+\sqrt{73}}{6},+\infty\right);$$

б) $$x\in \left[\frac{1-\sqrt{41}}{4},-\frac12\right]\cup \left[1,\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right].$$