Упр.30.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.50а) корень 3х + 1 + корень х — 4 — корень 4х + 5 < 0; б) 2 корень х + 1 - корень х - 1 - 2 корень х - 3 > 0; в) 2корень 2х — 7 — корень х — 4 больше или равно 2 корень х — 3; г) корень 6 — х + корень 3х — 5 меньше или равно корень 4х + 1.

1. а)

   $$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-4}-\sqrt{4x+5}<0$$ $$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-4}<\sqrt{4x+5}$$ Возведём в квадрат: $$3x+1+2\sqrt{(3x+1)(x-4)}+x-4<4x+5$$ $$2\sqrt{(3x+1)(x-4)}<8$$ $$\sqrt{(3x+1)(x-4)}<4$$ $$ (3x+1)(x-4)<16$$ $$3x^2-11x-4<16$$ $$3x^2-11x-20<0$$ $$ (3x+4)(x-5)<0$$ $$-\frac{4}{3}

   Область определения:
   $$3x+1\ge 0,\quad x-4\ge 0,\quad 4x+5\ge 0$$
   $$x\ge -\frac13,\quad x\ge 4,\quad x\ge -\frac54$$
   Значит, $$x\ge 4$$.

   Пересечение с найденным промежутком:
   $$x\in[4;5).$$

2. б)

   $$2\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}-2\sqrt{x-3}>0$$
   $$2\sqrt{x+1}>\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-3}$$
   Возведём в квадрат:
   $$4(x+1)>(x-1)+4(x-3)+4\sqrt{(x-1)(x-3)}$$
   $$4x+4>x-1+4x-12+4\sqrt{x^2-4x+3}$$
   $$4\sqrt{x^2-4x+3}<17-x$$

   Отсюда $$17-x>0$$, то есть $$x<17$$. Тогда можно снова возвести в квадрат:
   $$16(x^2-4x+3)<(17-x)^2$$ $$16x^2-64x+48

   Область определения:
   $$x+1\ge 0,\quad x-1\ge 0,\quad x-3\ge 0$$
   $$x\ge -1,\quad x\ge 1,\quad x\ge 3$$
   Значит, $$x\ge 3$$.

   Тогда
   $$x\in\left[3;\,1+\frac{16\sqrt{15}}{15}\right).$$

3. в)

   $$2\sqrt{2x-7}-\sqrt{x-4}\ge 2\sqrt{x-3}$$
   $$2\sqrt{2x-7}\ge 2\sqrt{x-3}+\sqrt{x-4}$$
   Возведём в квадрат:
   $$4(2x-7)\ge 4(x-3)+4\sqrt{(x-3)(x-4)}+(x-4)$$
   $$8x-28\ge 5x-16+4\sqrt{x^2-7x+12}$$
   $$4\sqrt{x^2-7x+12}\le 3x-12$$

   Отсюда $$3x-12\ge 0$$, то есть $$x\ge 4$$. Тогда:
   $$16(x^2-7x+12)\le (3x-12)^2$$
   $$16x^2-112x+192\le 9x^2-72x+144$$
   $$7x^2-40x+48\le 0$$
   $$\left(x-\frac{12}{7}\right)(x-4)\le 0$$
   $$\frac{12}{7}\le x\le 4.$$

   Область определения:
   $$2x-7\ge 0,\quad x-3\ge 0,\quad x-4\ge 0$$
   $$x\ge \frac72,\quad x\ge 3,\quad x\ge 4$$
   Значит, $$x\ge 4$$.

   Следовательно, $$x=4.$$

4. г)

   $$\sqrt{6-x}+\sqrt{3x-5}\le \sqrt{4x+1}$$
   Возведём в квадрат:
   $$6-x+2\sqrt{(6-x)(3x-5)}+3x-5\le 4x+1$$
   $$2\sqrt{(6-x)(3x-5)}\le 2x$$
   $$\sqrt{(6-x)(3x-5)}\le x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0$$. Тогда можно возвести в квадрат:
   $$ (6-x)(3x-5)\le x^2$$
   $$-3x^2+23x-30\le x^2$$
   $$4x^2-23x+30\ge 0$$
   $$ (x-2)\left(x-\frac{15}{4}\right)\ge 0$$
   $$x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{15}{4}.$$

   Область определения:
   $$6-x\ge 0,\quad 3x-5\ge 0,\quad 4x+1\ge 0$$
   $$x\le 6,\quad x\ge \frac53,\quad x\ge -\frac14$$
   Значит, $$x\in\left[\frac53;6\right].$$

   Пересечение даёт:
   $$x\in\left[\frac53;2\right]\cup\left[\frac{15}{4};6\right].$$

Ответ

а) $$x\in[4;5)$$;
б) $$x\in\left[3;\,1+\frac{16\sqrt{15}}{15}\right)$$;
в) $$x=4$$;
г) $$x\in\left[\frac53;2\right]\cup\left[\frac{15}{4};6\right]$$.