Упр.30.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.49 а)(корень 17-15x-2×2)/(x+3) > 0; в)(корень 10-7x+x2)/(x-1) > 0; б)(корень 14-11x-3×2)/(x+3) меньше или равно 0;г)(корень 12+8x+x2)/(x+5) меньше или равно 0.

1. $$\frac{\sqrt{17-15x-2x^2}}{x+3}>0$$
   Дробь положительна, значит числитель положителен, а знаменатель положителен:
   $$\begin{cases} 17-15x-2x^2\ge 0,\\ x+3>0. \end{cases}$$
   Из второго неравенства получаем $$x>-3.$$
   Решим первое:
   $$17-15x-2x^2\ge 0$$
   $$2x^2+15x-17\le 0.$$
   Найдём корни:
   $$D=15^2+4\cdot 2\cdot 17=225+136=361,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-15\pm 19}{4},\quad x_1=-\frac{17}{2},\ x_2=1.$$
   Тогда
   $$2x^2+15x-17\le 0 \;\Rightarrow\; x\in\left[-\frac{17}{2};1\right].$$
   С учётом $$x>-3$$ получаем
   $$x\in(-3;1].$$

2. $$\frac{\sqrt{14-11x-3x^2}}{x+3}\le 0$$
   Дробь не положительна. Так как числитель неотрицателен, то возможны два случая:
   $$\begin{cases} x+3<0,\\ 14-11x-3x^2\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 14-11x-3x^2=0,\\ x+3>0. \end{cases}$$
   Сначала решим
   $$14-11x-3x^2\ge 0,$$
   то есть
   $$3x^2+11x-14\le 0.$$
   Корни:
   $$D=11^2+4\cdot 3\cdot 14=121+168=289,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-11\pm 17}{6},\quad x_1=-\frac{14}{3},\ x_2=1.$$
   Значит,
   $$x\in\left[-\frac{14}{3};1\right].$$
   При $$x+3<0$$ имеем $$x<-3,$$ поэтому
   $$x\in\left[-\frac{14}{3};-3\right).$$
   При равенстве числителя нулю:
   $$x=-\frac{14}{3}\ \text{или}\ x=1,$$
   и нужно $$x+3>0,$$ значит подходит только $$x=1.$$
   Итак,
   $$x\in\left[-\frac{14}{3};-3\right)\cup\{1\}.$$

3. $$\frac{\sqrt{10-7x+x^2}}{x-1}>0$$
   Дробь положительна, значит
   $$\begin{cases} 10-7x+x^2\ge 0,\\ x-1>0. \end{cases}$$
   Отсюда $$x>1.$$
   Решим неравенство для числителя:
   $$x^2-7x+10\ge 0,$$
   $$\left(x-2\right)\left(x-5\right)\ge 0.$$
   Тогда
   $$x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$
   С учётом $$x>1$$ получаем
   $$x\in(1;2]\cup[5;+\infty).$$

4. $$\frac{\sqrt{12+8x+x^2}}{x+5}\le 0$$
   Возможны два случая:
   $$\begin{cases} x+5<0,\\ 12+8x+x^2\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 12+8x+x^2=0,\\ x+5>0. \end{cases}$$
   Решим
   $$x^2+8x+12\ge 0,$$
   $$\left(x+6\right)\left(x+2\right)\ge 0.$$
   Тогда
   $$x\le -6 \quad \text{или} \quad x\ge -2.$$
   При $$x+5<0$$ имеем $$x<-5,$$ значит
   $$x\in(-\infty;-6].$$
   При равенстве числителя нулю:
   $$x=-6 \quad \text{или} \quad x=-2,$$
   и условие $$x+5>0$$ выполняется только при $$x=-2.$$
   Итак,
   $$x\in(-\infty;-6]\cup\{-2\}.$$

Ответ

а) $$x\in(-3;1]$$;
б) $$x\in\left[-\frac{14}{3};-3\right)\cup\{1\}$$;
в) $$x\in(1;2]\cup[5;+\infty)$$;
г) $$x\in(-\infty;-6]\cup\{-2\}$$.