Упр.30.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.48 а)корень x4-3×2+4 < x2-5; б)корень x4-3x2+4 > x2-5.

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^4-3x^2+4}<x^2-5.$$

Чтобы корень был определён, нужно

$$x^4-3x^2+4\ge 0.$$

Положим $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-3t+4\ge 0.$$

Дискриминант:

$$D=9-16=-7<0.$$

Значит, $$x^4-3x^2+4>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.

Теперь возведём обе части неравенства в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть положительной:

$$x^2-5>0.$$

Тогда

$$x^4-3x^2+4<(x^2-5)^2=x^4-10x^2+25.$$

Получаем:

$$x^4-3x^2+4<x^4-10x^2+25,$$

$$7x^2<21,$$

$$x^2<3,$$

$$-\sqrt3<x<\sqrt3.$$

Но одновременно должно выполняться $$x^2-5>0$$, то есть $$|x|>\sqrt5.$$

Пересечение условий

$$-\sqrt3<x<\sqrt3$$

и

$$|x|>\sqrt5$$

пусто. Следовательно, решений нет.

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^4-3x^2+4}>x^2-5.$$

Так как $$x^4-3x^2+4>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$, корень определён для любых действительных значений $$x$$.

Если $$x^2-5<0$$, то неравенство выполняется автоматически, потому что левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Тогда

$$x^2-5<0,$$

$$x^2<5,$$

$$-\sqrt5<x<\sqrt5.$$

Если же $$x^2-5\ge 0$$, то можно возвести обе части в квадрат:

$$x^4-3x^2+4>(x^2-5)^2=x^4-10x^2+25,$$

$$7x^2>21,$$

$$x^2>3,$$

$$|x|>\sqrt3.$$

При $$x^2-5\ge 0$$ имеем $$|x|\ge \sqrt5$$, а это условие уже входит в $$|x|>\sqrt3$$. Значит, все такие значения тоже подходят.

Итак, объединяя случаи, получаем, что неравенство верно при всех действительных $$x$$.

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$x\in\mathbb R$$.