Упр.30.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.47 а)корень (x+2)(x-5) < 8-x; б)корень x2-4x > x-3; в)корень x2-5x+6 меньше или равно x+4; г)корень 3×2-22x больше или равно 2x-7.

1. $$\sqrt{(x+2)(x-5)}<8-x$$

   Чтобы неравенство с корнем было равносильно системе, нужно:

   $$\begin{cases} 8-x>0,\\ (x+2)(x-5)\ge 0,\\ (x+2)(x-5)<(8-x)^2. \end{cases}$$

   Решаем:

   $$(x+2)(x-5)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -2 \text{ или } x\ge 5,$$

   $$8-x>0 \;\Rightarrow\; x<8,$$

   $$(x+2)(x-5)<(8-x)^2,$$
   $$x^2-3x-10<x^2-16x+64,$$
   $$13x<74,$$
   $$x<\frac{74}{13}.$$

   Пересекаем все условия:

   $$x\in(-\infty;-2]\cup\left[5;\frac{74}{13}\right).$$

2. $$\sqrt{x^2-4x}>x-3$$

   Рассмотрим систему:

   $$\begin{cases} x^2-4x\ge 0,\\ x-3<0,\\ x^2-4x>(x-3)^2. \end{cases}$$

   $$x^2-4x\ge 0 \;\Rightarrow\; x(x-4)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 0 \text{ или } x\ge 4,$$

   $$x-3<0 \;\Rightarrow\; x<3,$$

   $$x^2-4x>x^2-6x+9,$$
   $$2x>9,$$
   $$x>\frac{9}{2}.$$

   Совместно получаем:

   $$x\in\left(\frac{9}{2};+\infty\right).$$

3. $$\sqrt{x^2-5x+6}\le x+4$$

   Необходимы условия:

   $$\begin{cases} x+4\ge 0,\\ x^2-5x+6\ge 0,\\ x^2-5x+6\le (x+4)^2. \end{cases}$$

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 2 \text{ или } x\ge 3,$$

   $$x+4\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -4,$$

   $$x^2-5x+6\le x^2+8x+16,$$
   $$-13x\le 10,$$
   $$x\ge -\frac{10}{13}.$$

   Тогда

   $$x\in\left[-\frac{10}{13};2\right]\cup[3;+\infty).$$

4. $$\sqrt{3x^2-22x}\ge 2x-7$$

   Рассмотрим систему:

   $$\begin{cases} 3x^2-22x\ge 0,\\ 2x-7\le 0,\\ 3x^2-22x\ge (2x-7)^2. \end{cases}$$

   $$3x^2-22x\ge 0 \;\Rightarrow\; x(3x-22)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 0 \text{ или } x\ge \frac{22}{3},$$

   $$2x-7\le 0 \;\Rightarrow\; x\le \frac{7}{2},$$

   $$3x^2-22x\ge 4x^2-28x+49,$$
   $$x^2-6x+49\le 0.$$

   Но

   $$D=36-196=-160<0,$$

   а значит, неравенство $$x^2-6x+49\le 0$$ решений не имеет.

   Следовательно, исходное неравенство решений не имеет.

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-2]\cup\left[5;\frac{74}{13}\right);$$
б) $$x\in\left(\frac{9}{2};+\infty\right);$$
в) $$x\in\left[-\frac{10}{13};2\right]\cup[3;+\infty);$$
г) решений нет.