Упр.30.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.46 Решите неравенство: а) корень х + 6 < х; в) корень 2x3 + х2 - 20 меньше или равно х; б) корень 5 + 12х - х2 > х — 7;г) корень 2х3 + х + 3 больше или равно х корень 6.

1. $$\sqrt{x+6}<x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$x>0$$. Возведём обе части в квадрат:

   $$x+6<x^2$$

   $$x^2-x-6>0$$

   $$\left(x+2\right)\left(x-3\right)>0$$

   Отсюда $$x<-2$$ или $$x>3$$. С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

   $$x>3$$

2. $$\sqrt{5+12x-x^2}>x-7$$

   Рассмотрим два случая.

   1) $$x-7<0$$, то есть $$x<7$$.

   Тогда достаточно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$5+12x-x^2\ge 0$$

   $$x^2-12x-5\le 0$$

   $$D=144+20=164$$

   $$x=6\pm \sqrt{41}$$

   Значит, $$6-\sqrt{41}\le x\le 6+\sqrt{41}$$. С учётом $$x<7$$ получаем:

   $$x\in [6-\sqrt{41};\,7)$$

   2) $$x-7\ge 0$$, то есть $$x\ge 7$$.

   Тогда можно возвести обе части в квадрат:

   $$5+12x-x^2>(x-7)^2$$

   $$5+12x-x^2>x^2-14x+49$$

   $$2x^2-26x+44<0$$

   $$x^2-13x+22<0$$

   $$\left(x-2\right)\left(x-11\right)<0$$

   $$2<x<11$$

   С учётом $$x\ge 7$$ получаем:

   $$x\in [7;\,11)$$

   Объединяя оба случая, имеем:

   $$x\in [6-\sqrt{41};\,11)$$

3. $$\sqrt{2x^3+x^2-20}\le x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0$$. Возведём обе части в квадрат:

   $$2x^3+x^2-20\le x^2$$

   $$2x^3-20\le 0$$

   $$x^3\le 10$$

   $$x\le \sqrt[3]{10}$$

   Проверим область определения:

   $$2x^3+x^2-20\ge 0$$

   $$\left(x-2\right)\left(2x^2+5x+10\right)\ge 0$$

   Так как $$2x^2+5x+10>0$$ при всех $$x$$, то:

   $$x\ge 2$$

   Итак,

   $$x\in [2;\,\sqrt[3]{10}]$$

4. $$\sqrt{2x^3+x+3}\ge x\sqrt{6}$$

   Рассмотрим два случая.

   1) $$x\le 0$$. Тогда правая часть не положительна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при условии существования корня:

   $$2x^3+x+3\ge 0$$

   $$2x^3+x+3=\left(x+1\right)\left(2x^2-2x+3\right)$$

   Так как $$2x^2-2x+3>0$$ при всех $$x$$, то:

   $$x\ge -1$$

   Следовательно, в этом случае:

   $$x\in [-1;\,0]$$

   2) $$x\ge 0$$. Тогда можно возвести обе части в квадрат:

   $$2x^3+x+3\ge 6x^2$$

   $$2x^3-6x^2+x+3\ge 0$$

   $$\left(x-1\right)\left(2x^2-4x-3\right)\ge 0$$

   $$2x^2-4x-3=0$$

   $$D=16+24=40$$

   $$x=1\pm \sqrt{2,5}$$

   С учётом $$x\ge 0$$ получаем:

   $$x\in [1+\sqrt{2,5};\,+\infty)$$

   Итак,

   $$x\in [-1;\,0]\cup [1+\sqrt{2,5};\,+\infty)$$

Ответ

а) $$x\in (3;\,+\infty)$$; б) $$x\in [6-\sqrt{41};\,11)$$; в) $$x\in [2;\,\sqrt[3]{10}]$$; г) $$x\in [-1;\,0]\cup [1+\sqrt{2,5};\,+\infty)$$.