Упр.30.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Докажем равносильность неравенства $$\sqrt{f(x)}

$$ \begin{cases} f(x)0,\\ f(x)\ge 0. \end{cases} $$

Если $$\sqrt{f(x)}0.$$ Возведём обе части неравенства в квадрат:

$$f(x)

Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$f(x)\ge 0.$$

Итак, получаем систему

$$ \begin{cases} f(x)0,\\ f(x)\ge 0. \end{cases} $$

Обратно, если выполнена эта система, то из $$h(x)>0$$ и $$f(x)\ge 0$$ следует, что $$\sqrt{f(x)}\ge 0,$$ а из $$f(x)

$$\sqrt{f(x)}

Значит, неравенство и система равносильны.

б) Докажем равносильность неравенства $$\sqrt{f(x)}>h(x)$$ совокупности систем

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ f(x)>h^2(x),\\ h(x)<0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ f(x)>h^2(x),\\ h(x)\ge 0 \end{cases} $$

Возведём обе части неравенства в квадрат. Так как $$\sqrt{f(x)}\ge 0,$$ то возможны два случая.

Если $$h(x)<0,$$ то неравенство $$\sqrt{f(x)}>h(x)$$ выполняется автоматически при $$f(x)\ge 0,$$ поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна.

Если $$h(x)\ge 0,$$ то можно возвести неравенство в квадрат:

$$f(x)>h^2(x).$$

При этом обязательно должно выполняться $$f(x)\ge 0.$$

Следовательно, неравенство $$\sqrt{f(x)}>h(x)$$ равносильно совокупности систем

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)<0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ f(x)>h^2(x),\\ h(x)\ge 0. \end{cases} $$

Ответ

а) $$\sqrt{f(x)}0,\\ f(x)\ge 0. \end{cases}$$

б) $$\sqrt{f(x)}>h(x) \iff \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)<0 \end{cases} \ \text{или} \ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ f(x)>h^2(x),\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$