Упр.30.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.44. Для каждого значения параметра а решите неравенство: а) корень х + 2 > корень2а — х; б) корень х — 2а больше или равно корень 4 + 2а — 5х; в) корень 5а — 2х + 1 < корень 6х-а-7; г) корень 4 - х2 меньше или равно корень 4х + а.
а) $$\sqrt{x+2}>\sqrt{2a-x}$$
Так как обе части неотрицательны, возведём в квадрат:
$$x+2>2a-x$$
$$2x>2a-2$$
$$x>a-1$$
Область определения:
$$x+2\ge 0,\quad 2a-x\ge 0$$
$$x\ge -2,\quad x\le 2a$$
Нужно, чтобы пересечение условий было непустым:
$$a-1<2a$$
$$a>-1$$
Если $$a>-1$$, то
$$x\in(a-1;\,2a]$$
Если $$a\le -1$$, решений нет.
б) $$\sqrt{x-2a}\ge \sqrt{4+2a-5x}$$
Возведём в квадрат:
$$x-2a\ge 4+2a-5x$$
$$6x\ge 4+4a$$
$$x\ge \frac{2(a+1)}{3}$$
Область определения:
$$x-2a\ge 0,\quad 4+2a-5x\ge 0$$
$$x\ge 2a,\quad x\le \frac{2a+4}{5}$$
Для существования решений нужно:
$$\frac{2(a+1)}{3}\le \frac{2a+4}{5}$$
$$5(2a+2)\le 3(2a+4)$$
$$10a+10\le 6a+12$$
$$4a\le 2$$
$$a\le \frac12$$
Если $$a<\frac12$$, то
$$x\in\left[\frac{2(a+1)}{3};\,\frac{2a+4}{5}\right]$$
Если $$a=\frac12$$, то $$x=1$$.
Если $$a>\frac12$$, решений нет.
в) $$\sqrt{5a-2x+1}<\sqrt{6x-a-7}$$
Возведём в квадрат:
$$5a-2x+1<6x-a-7$$
$$8x>6a+8$$
$$x>\frac{3a}{4}+1$$
Область определения:
$$5a-2x+1\ge 0,\quad 6x-a-7\ge 0$$
$$x\le \frac{5a+1}{2},\quad x\ge \frac{a+7}{6}$$
Чтобы решения существовали, нужно:
$$\frac{3a}{4}+1<\frac{5a+1}{2}$$
$$3a+4<10a+2$$
$$2<7a$$
$$a>\frac27$$
Тогда
$$x\in\left(\frac{3a}{4}+1;\,\frac{5a+1}{2}\right]$$
Если $$a\le \frac27$$, решений нет.
г) $$\sqrt{4-x^2}\le \sqrt{4x+a}$$
Возведём в квадрат:
$$4-x^2\le 4x+a$$
$$x^2+4x+(a-4)\ge 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=4^2-4(a-4)=32-4a=4(8-a)$$
Если $$a\ge 8$$, то $$D\le 0$$ и при этом $$x^2+4x+(a-4)\ge 0$$ для всех $$x$$. Тогда остаётся только область определения:
$$4-x^2\ge 0,\quad 4x+a\ge 0$$
$$-2\le x\le 2,\quad x\ge -\frac a4$$
При $$a\ge 8$$ это даёт
$$x\in[-2;\,2]$$
Если $$a<8$$, то
$$x=-2\pm \sqrt{8-a}$$
и нужно учесть область определения $$-2\le x\le 2$$. Получаем:
если $$-8\le a<8$$, то
$$x\in\left[-2+\sqrt{8-a};\,2\right]$$
если $$a<-8$$, решений нет.
Ответ
а) если $$a>-1$$, то $$x\in(a-1;\,2a]$$; если $$a\le -1$$, решений нет.
б) если $$a<\frac12$$, то $$x\in\left[\frac{2(a+1)}{3};\,\frac{2a+4}{5}\right]$$; если $$a=\frac12$$, то $$x=1$$; если $$a>\frac12$$, решений нет.
в) если $$a>\frac27$$, то $$x\in\left(\frac{3a}{4}+1;\,\frac{5a+1}{2}\right]$$; если $$a\le \frac27$$, решений нет.
г) если $$a\ge 8$$, то $$x\in[-2;\,2]$$; если $$-8\le a<8$$, то $$x\in\left[-2+\sqrt{8-a};\,2\right]$$; если $$a<-8$$, решений нет.
