Упр.30.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.43. a) корень lg(10 — 5х) больше или равно корень lgx; б) корень log 0,3(18 — 7x) меньше или равно корень log 0,3(0,25x).

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{\lg(10-5x)}\ge \sqrt{\lg x}.$$

Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, получаем систему:

$$ \begin{cases} \lg(10-5x)\ge \lg x,\\ \lg x\ge 0,\\ 10-5x>0. \end{cases} $$

Из первого неравенства:

$$10-5x\ge x,$$

$$6x\le 10,$$

$$x\le \frac53.$$

Из области определения:

$$\lg x\ge 0 \Rightarrow x\ge 1,$$

$$10-5x>0 \Rightarrow x<2.$$

Пересекаем условия:

$$x\in \left[1;\frac53\right].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{\log_{0,3}(18-7x)}\le \sqrt{\log_{0,3}(0,25x)}.$$

Так как $$\sqrt{t}$$ возрастает, имеем систему:

$$ \begin{cases} \log_{0,3}(18-7x)\le \log_{0,3}(0,25x),\\ \log_{0,3}(18-7x)\ge 0,\\ \log_{0,3}(0,25x)\ge 0. \end{cases} $$

Так как основание $$0,3<1$$, то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

$$18-7x\ge 0,25x,$$

$$72-28x\ge x,$$

$$29x\le 72,$$

$$x\le \frac{72}{29}.$$

Теперь учтём область определения:

$$\log_{0,3}(18-7x)\ge 0 \Rightarrow 0<18-7x\le 1,$$

откуда

$$\frac{17}{7}\le x<\frac{18}{7}.$$

Также

$$\log_{0,3}(0,25x)\ge 0 \Rightarrow 0<0,25x\le 1,$$

то есть

$$0<x\le 4.$$

Пересекаем все условия:

$$x\in \left[\frac{17}{7};\frac{72}{29}\right].$$

Ответ

а) $$x\in \left[1;\frac53\right]$$; б) $$x\in \left[\frac{17}{7};\frac{72}{29}\right].$$