Упр.30.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.42. a) корень sinx < корень cosx;б) корень (2- корень (3)sin2х) > cos2x.

а) $$\sqrt{\sin x}<\sqrt{\cos x}.$$

Так как корень квадратный определён только при неотрицательном подкоренном выражении, получаем:

$$\sin x\ge 0,\qquad \cos x\ge 0.$$

На области определения можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$$\sin x<\cos x.$$

При $$\cos x>0$$ делим на $$\cos x$$:

$$\tg x<1.$$

С учётом области определения $$\sin x\ge 0$$ и $$\cos x\ge 0$$ получаем

$$x\in\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{2-\sqrt3\sin 2x}>\sqrt{\cos 2x}.$$

Область определения:

$$2-\sqrt3\sin 2x\ge 0,\qquad \cos 2x\ge 0.$$

Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат:

$$2-\sqrt3\sin 2x>\cos 2x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2-\cos 2x-\sqrt3\sin 2x>0.$$

Используем формулу:

$$\cos 2x+\sqrt3\sin 2x=2\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right).$$

Тогда

$$2-2\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)>0,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)<1.$$

Это неравенство выполняется при всех значениях, кроме тех, где

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)=1,$$

то есть

$$\frac{\pi}{6}+2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом области определения $$\cos 2x\ge 0$$ получаем:

$$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$