Упр.30.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 30.41. а) корень х — 2 > корень 4 — х; б) корень х3 — х2 больше или равно корень 2 — х- х2; в) корень 25 — x2 < корень 5x - 11; г) корень x3 - 2х2 + 3 меньше или равно корень х3 + х2 - 8х + 8.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x-2}>\sqrt{4-x}$$
Так как функция корня возрастает, то сравним подкоренные выражения:
$$x-2>4-x$$
$$2x>6$$
$$x>3$$
Область определения:
$$x-2\ge 0,\quad 4-x\ge 0$$
$$x\ge 2,\quad x\le 4$$
Пересечение условий:
$$x\in(3;4]$$
б) $$\sqrt{x^3-x^2}\ge \sqrt{2-x-x^2}$$
Сначала учтём область определения и сравним подкоренные выражения:
$$ \begin{aligned} x^3-x^2&\ge 2-x-x^2,\\ x^3+x-2&\ge 0,\\ (x-1)(x^2+x+2)&\ge 0. \end{aligned} $$
Так как $$x^2+x+2>0$$ при всех $$x$$, получаем:
$$x\ge 1$$
Теперь область определения:
$$2-x-x^2\ge 0$$
$$x^2+x-2\le 0$$
$$ (x+2)(x-1)\le 0 $$
$$x\in[-2;1]$$
Пересечение условий:
$$x=1$$
в) $$\sqrt{25-x^2}<\sqrt{5x-11}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$25-x^2<5x-11$$
$$x^2+5x-36>0$$
$$ (x+9)(x-4)>0 $$
$$x<-9 \quad \text{или} \quad x>4$$
Область определения:
$$25-x^2\ge 0,\quad 5x-11\ge 0$$
$$-5\le x\le 5,\quad x\ge \frac{11}{5}$$
Значит, $$x\in\left[\frac{11}{5};5\right]$$.
Пересечение с условием неравенства даёт:
$$x\in(4;5]$$
г) $$\sqrt{x^3-2x^2+3}\le \sqrt{x^3+x^2-8x+8}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$ \begin{aligned} x^3-2x^2+3&\le x^3+x^2-8x+8,\\ 3x^2-8x+5&\ge 0,\\ (x-1)(3x-5)&\ge 0. \end{aligned} $$
Отсюда:
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{5}{3}$$
Область определения:
$$x^3-2x^2+3\ge 0$$
$$x^3+x^2-8x+8\ge 0$$
Разложим первый многочлен:
$$x^3-2x^2+3=(x-1)(x^2-x-3)$$
При этом достаточно учесть, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны. Пересечение с найденным условием даёт:
$$x\in[-1;1]\cup\left[\frac{5}{3};+\infty\right)$$