Упр.30.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.40. Докажите, что неравенство корень f(x) меньше или равно корень h(x) равносильно двойному неравенству 0 меньше или равно f(x) меньше или равно h(x).

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство $$\sqrt{f(x)}\le \sqrt{h(x)}.$$

Чтобы оно имело смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$$f(x)\ge 0,\qquad h(x)\ge 0.$$

При этих условиях обе части неравенства можно возвести в квадрат, так как функция $$y=x^2$$ возрастает на множестве неотрицательных чисел:

$$\left(\sqrt{f(x)}\right)^2\le \left(\sqrt{h(x)}\right)^2,$$

откуда получаем

$$f(x)\le h(x).$$

Следовательно, исходное неравенство равносильно системе

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)\ge 0,\\ f(x)\le h(x). \end{cases} $$

Так как из $$f(x)\le h(x)$$ и $$f(x)\ge 0$$ автоматически следует, что $$h(x)\ge 0,$$ то достаточно записать двойное неравенство

$$0\le f(x)\le h(x).$$