Упр.30.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.30 а)корень x3+x2-1 + корень x3+x2+2 = 3, б)корень x3-4×2+x+15 + корень x3-4×2-x+13=x+1.

а) Обозначим

$$a=\sqrt{x^3+x^2-1}, \qquad b=\sqrt{x^3+x^2+2}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a+b=3.$$

Вычтем из первого подкоренного выражения второе:

$$a^2-b^2=(x^3+x^2-1)-(x^3+x^2+2)=-3.$$

С другой стороны,

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=3(a-b).$$

Значит,

$$3(a-b)=-3, \qquad a-b=-1.$$

Решаем систему

$$ \begin{cases} a+b=3,\\ a-b=-1. \end{cases} $$

Получаем

$$a=1, \qquad b=2.$$

Тогда

$$\sqrt{x^3+x^2-1}=1,$$

откуда

$$x^3+x^2-1=1,$$

$$x^3+x^2-2=0,$$

$$x^2(x+1)-2=0.$$

Проверка показывает, что подходит только

$$x=1.$$

б) Обозначим

$$a=\sqrt{x^3-4x^2+x+15}, \qquad b=\sqrt{x^3-4x^2-x+13}.$$

Тогда

$$a+b=x+1.$$

Вычтем подкоренные выражения:

$$a^2-b^2=(x^3-4x^2+x+15)-(x^3-4x^2-x+13)=2x+2=2(x+1).$$

Но

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=(a-b)(x+1).$$

Следовательно,

$$2(x+1)=(a-b)(x+1).$$

Если $$x=-1,$$ то уравнение выполняется:

$$\sqrt{1-4-1+15}+\sqrt{1-4+1+13}=3+3=6,$$

а правая часть равна $$0,$$ значит, $$x=-1$$ не подходит.

Значит, $$x+1\ne 0,$$ и можно сократить на $$x+1$$:

$$a-b=2.$$

Тогда

$$a=b+2,$$

$$x^3-4x^2+x+15=(b+2)^2=b^2+4b+4.$$

Так как $$b^2=x^3-4x^2-x+13,$$ получаем

$$x^3-4x^2+x+15=x^3-4x^2-x+13+4b+4,$$

$$2x-2=4b,$$

$$b=\frac{x-1}{2}.$$

Тогда

$$\sqrt{x^3-4x^2-x+13}=\frac{x-1}{2}.$$

Возводим в квадрат:

$$4(x^3-4x^2-x+13)=(x-1)^2,$$

$$4x^3-16x^2-4x+52=x^2-2x+1,$$

$$4x^3-17x^2-2x+51=0.$$

Проверка даёт разложение:

$$4x^3-17x^2-2x+51=(x-3)(4x^2-5x-17).$$

Отсюда

$$x=3$$

или

$$4x^2-5x-17=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=25+272=297,$$

$$x=\frac{5\pm\sqrt{297}}{8}.$$

Проверка показывает, что корень $$\frac{5-\sqrt{297}}{8}$$ не подходит, а корни $$3$$ и $$\frac{5+\sqrt{297}}{8}$$ удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=3,\ \frac{5+\sqrt{297}}{8}$$.