Упр.30.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.4 а)корень 4 степени 2sinx=1; в)корень 4 степени 4tg(x/4)=2; б)корень 6 степени 1-2cos4x=корень 2 — корень 3; г)корень 3 степени 2sin3x+1=-1

1. $$\sqrt[4]{2\sin x}=1$$
   Тогда
   $$2\sin x=1,$$
   откуда
   $$\sin x=\frac12.$$
   Следовательно,
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\sqrt[6]{1-2\cos 4x}=\sqrt2-\sqrt3.$$
   Левая часть неотрицательна при любых допустимых значениях, а
   $$\sqrt2-\sqrt3<0.$$ Значит, решений нет.
3. $$\sqrt[4]{4\tg\frac{x}{4}}=2$$
   Тогда
   $$4\tg\frac{x}{4}=16,$$
   откуда
   $$\tg\frac{x}{4}=4.$$
   Следовательно,
   $$\frac{x}{4}=\arctg 4+\pi n,$$
   значит,
   $$x=4\arctg 4+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$\sqrt[3]{2\sin 3x+1}=-1$$
   Тогда
   $$2\sin 3x+1=-1,$$
   откуда
   $$2\sin 3x=-2,$$
   $$\sin 3x=-1.$$
   Следовательно,
   $$3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   значит,
   $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) решений нет;
в) $$x=4\arctg 4+4\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$