Упр.30.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.39. Найдите все действительные значения а, при каждом из которых неравенство не имеет решений: а) корень х — 4 больше или равно 2 — а;б) корень 16 — х2 больше или равно а + 1.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x-4}\ge 2-a.$$

Левая часть неравенства при допустимых значениях $$x$$ всегда неотрицательна:

$$\sqrt{x-4}\ge 0.$$

Чтобы неравенство не имело решений, правая часть должна быть больше любого возможного значения левой части, то есть

$$2-a>0.$$

Тогда неравенство принимает вид $$\sqrt{x-4}\ge \text{положительное число},$$ и решения существуют. Значит, решений не будет только при невозможности выполнения условия для всех $$x$$, то есть при

$$2-a>0 \;\Longrightarrow\; a<2.$$

Но при $$a\ge 2$$ правая часть не положительна, и решения есть. Следовательно, для отсутствия решений нужно, чтобы правая часть была больше максимального значения левой части, а у выражения $$\sqrt{x-4}$$ максимума нет. Поэтому решений не будет только если область определения пуста, но она не пуста при $$x\ge 4$$. Значит, в пункте а) решений не бывает ни при каком $$a$$.

б) $$\sqrt{16-x^2}\ge a+1.$$

Найдём значения левой части. Так как

$$16-x^2\ge 0,$$

то

$$0\le \sqrt{16-x^2}\le 4.$$

Чтобы неравенство не имело решений, правая часть должна быть больше наибольшего значения левой части:

$$a+1>4.$$

Отсюда

$$a>3.$$