Упр.30.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.37. Решите неравенство: а) корень lg(1-х) меньше или равно 1; б) log 0,2 корень 3 степени 6х2 — 25 больше или равно-1; в) log2(x2 +3x — 24) меньше или равно 2; г) log 0,25 корень 4 степени x2 — 6x — 11 больше или равно -0,5.
$$\sqrt{\lg(1-x)}\le 1$$
Так как корень квадратный определён и неотрицателен, то
$$0\le \lg(1-x)\le 1.$$
Из $$\lg(1-x)\le 1$$ получаем
$$1-x\le 10,\quad x\ge -9.$$
Из условия существования логарифма и неотрицательности подкоренного выражения:
$$\lg(1-x)\ge 0 \;\Rightarrow\; 1-x\ge 1,\quad x\le 0.$$
Пересекаем условия:
$$x\in[-9;0].$$
$$\log_{0,2}\sqrt[3]{6x^2-25}\ge -1$$
Так как основание $$0,2<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$\sqrt[3]{6x^2-25}\le 5.$$
Возводим в куб:
$$6x^2-25\le 125,$$
$$6x^2\le 150,$$
$$x^2\le 25,$$
$$-5\le x\le 5.$$
Теперь учтём область определения:
$$\sqrt[3]{6x^2-25}>0,$$
$$6x^2-25>0,$$
$$x^2>\frac{25}{6},$$
$$x<-\frac{5}{\sqrt6}\quad \text{или}\quad x>\frac{5}{\sqrt6}.$$
Пересечение с $$[-5;5]$$ даёт
$$x\in\left[-5;-\frac{5}{\sqrt6}\right)\cup\left(\frac{5}{\sqrt6};5\right].$$
$$\log_2(x^2+3x-24)\le 2$$
Так как основание $$2>1$$, получаем
$$x^2+3x-24\le 4,$$
$$x^2+3x-28\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-28)=9+112=121,$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{2},\quad x_1=-7,\; x_2=4.$$
Тогда
$$-7\le x\le 4.$$
Область определения:
$$x^2+3x-24>0,$$
$$x^2+3x-24=(x+6)(x-4),$$
$$x<-6\quad \text{или}\quad x>4.$$
Пересечение с $$[-7;4]$$:
$$x\in[-7;-6)\cup\{4\}.$$
$$\log_{0,25}\sqrt[4]{x^2-6x-11}\ge -0,5$$
Так как $$0,25<1$$, знак неравенства меняется:
$$\sqrt[4]{x^2-6x-11}\le 2.$$
Возводим в четвёртую степень:
$$x^2-6x-11\le 16,$$
$$x^2-6x-27\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=36+108=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2},\quad x_1=-3,\; x_2=9.$$
Тогда
$$-3\le x\le 9.$$
Область определения:
$$\sqrt[4]{x^2-6x-11}>0,$$
$$x^2-6x-11>0,$$
$$x^2-6x-11=(x-3)^2-20,$$
$$x<3-2\sqrt5\quad \text{или}\quad x>3+2\sqrt5.$$
Пересечение с $$[-3;9]$$:
$$x\in[-3;3-2\sqrt5)\cup(3+2\sqrt5;9].$$
Ответ
а) $$x\in[-9;0]$$; б) $$x\in\left[-5;-\frac{5}{\sqrt6}\right)\cup\left(\frac{5}{\sqrt6};5\right]$$; в) $$x\in[-7;-6)\cup\{4\}$$; г) $$x\in[-3;3-2\sqrt5)\cup(3+2\sqrt5;9]$$.
