Упр.30.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.36. a) корень 4 степени 2 cosx > 1; б) корень 6 степени 1 + 2cos4x > корень 2 — корень 3; в) корень 4 степени 8ctg(x/2) < 2; г) корень 3 степени 2 sin 3х - 1 < -1.

1. $$\sqrt[4]{2\cos x}>1$$

   Так как функция $$y=\sqrt[4]{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, получаем:

   $$2\cos x>1$$

   $$\cos x>\frac12$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sqrt[6]{1+2\cos 4x}>\sqrt2-\sqrt3$$

   Так как $$\sqrt2-\sqrt3<0$$, а левая часть неотрицательна, неравенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под корнем определено:

   $$1+2\cos 4x\ge 0$$

   $$\cos 4x\ge -\frac12$$

   Тогда

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 4x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sqrt[4]{8\ctg\frac{x}{2}}<2$$

   Так как левая часть определена и неотрицательна, имеем:

   $$0\le 8\ctg\frac{x}{2}<2^4=16$$

   $$0\le \ctg\frac{x}{2}<2$$

   Из условия $$\ctg\frac{x}{2}\ge 0$$ получаем

   $$\pi n<\frac{x}{2}\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$2\pi n<x\le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Теперь решаем $$\ctg\frac{x}{2}<2$$:

   $$\frac{x}{2}>\operatorname{arcctg}2+\pi n$$

   $$x>2\operatorname{arcctg}2+2\pi n.$$

   Совмещая условия, получаем

   $$2\operatorname{arcctg}2+2\pi n<x\le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sqrt[3]{2\sin 3x-1}<-1$$

   Так как функция $$y=\sqrt[3]{t}$$ возрастает, получаем:

   $$2\sin 3x-1<-1$$

   $$2\sin 3x<0$$

   $$\sin 3x<0$$

   Отсюда

   $$-\pi+2\pi n<3x<2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x\in\left(2\operatorname{arcctg}2+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{2\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb Z$$.