Упр.30.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.35. а) корень х + 3 * корень 4х + 5 < 6;в) корень х - 2 * корень 2х + 3 > 3; б) корень (х + 3)(4х + 5) < 6;г) корень (х - 2)(2х + 3) > 3.

1. а)

   $$\sqrt{x+3}\cdot\sqrt{4x+5}<6$$ $$\sqrt{(x+3)(4x+5)}<6$$ $$ (x+3)(4x+5)<36 $$ $$4x^2+17x+15<36$$ $$4x^2+17x-21<0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$D=17^2-4\cdot4\cdot(-21)=289+336=625$$
   $$x_{1,2}=\frac{-17\pm25}{8}$$
   $$x_1=-\frac{21}{4},\quad x_2=1$$
   Тогда
   $$4x^2+17x-21<0 \;\Rightarrow\; x\in\left(-\frac{21}{4},1\right).$$

   Учитываем область определения:
   $$x+3\ge 0,\quad 4x+5\ge 0$$
   $$x\ge -3,\quad x\ge -\frac54$$
   Значит,
   $$x\in\left[-\frac54,+\infty\right).$$

   Пересечение множеств:
   $$x\in\left(-\frac{21}{4},1\right)\cap\left[-\frac54,+\infty\right)=\left[-\frac54,1\right).$$

2. б)

   $$\sqrt{(x+3)(4x+5)}<6$$ $$ (x+3)(4x+5)<36 $$ $$4x^2+17x-21<0$$

   Как и в пункте а), получаем
   $$x\in\left(-\frac{21}{4},1\right).$$

   Область определения:
   $$ (x+3)(4x+5)\ge 0 $$
   $$x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac54,+\infty\right).$$

   Пересечение:
   $$x\in\left(-\frac{21}{4},1\right)\cap\left((-\infty,-3]\cup\left[-\frac54,+\infty\right)\right)$$
   $$x\in\left(-\frac{21}{4},-3\right]\cup\left[-\frac54,1\right).$$

3. в)

   $$\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{2x+3}\ge 3$$
   $$\sqrt{(x-2)(2x+3)}\ge 3$$
   $$ (x-2)(2x+3)\ge 9 $$
   $$2x^2-x-6\ge 9$$
   $$2x^2-x-15\ge 0$$

   Найдём корни:
   $$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-15)=1+120=121$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm11}{4}$$
   $$x_1=-\frac52,\quad x_2=3$$
   Тогда
   $$2x^2-x-15\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty,-\frac52]\cup[3,+\infty).$$

   Область определения:
   $$x-2\ge 0,\quad 2x+3\ge 0$$
   $$x\ge 2,\quad x\ge -\frac32$$
   Значит,
   $$x\in[2,+\infty).$$

   Пересечение:
   $$x\in[3,+\infty).$$

4. г)

   $$\sqrt{(x-2)(2x+3)}\ge 3$$
   $$ (x-2)(2x+3)\ge 9$$
   $$2x^2-x-15\ge 0$$

   Отсюда
   $$x\in(-\infty,-\frac52]\cup[3,+\infty).$$

   Область определения:
   $$ (x-2)(2x+3)\ge 0 $$
   $$x\in(-\infty,-\frac32]\cup[2,+\infty).$$

   Пересечение:
   $$x\in(-\infty,-\frac52]\cup[3,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac54,1\right)$$;
б) $$x\in\left(-\frac{21}{4},-3\right]\cup\left[-\frac54,1\right)$$;
в) $$x\in[3,+\infty)$$;
г) $$x\in(-\infty,-\frac52]\cup[3,+\infty)$$.