Упр.30.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.34. а) корень х2 — 4х — 3 < 3; в) корень 36 - х - 12Х2 > 5; б)корень 6 степени x3 — 2х2 + 1 больше или равно 1; г) корень 7 степени 1 — х2 — х3 меньше или равно 1.
$$\sqrt{x^2-4x-3}<3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-4x-3<9$$
$$x^2-4x-12<0$$
$$ (x+2)(x-6)<0 $$
Отсюда
$$-2<x<6$$
Теперь учтём область определения:
$$x^2-4x-3\ge 0$$
$$x^2-4x-3=0$$
$$D=16+12=28$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2}=2\pm\sqrt7$$
Значит,
$$x\le 2-\sqrt7 \quad \text{или} \quad x\ge 2+\sqrt7$$
Пересекаем с $$-2<x<6$$:
$$x\in(-2;\,2-\sqrt7]\cup[2+\sqrt7;\,6)$$
$$\sqrt[6]{x^3-2x^2+1}\ge 1$$
Так как корень шестой степени, возведём обе части в шестую степень:
$$x^3-2x^2+1\ge 1$$
$$x^3-2x^2\ge 0$$
$$x^2(x-2)\ge 0$$
Произведение неотрицательно при
$$x=0 \quad \text{или} \quad x\ge 2$$
Следовательно,
$$x\in\{0\}\cup[2;\,+\infty)$$
$$\sqrt{36-x-12x^2}>5$$
Возведём обе части в квадрат:
$$36-x-12x^2>25$$
$$12x^2+x-11<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=1+4\cdot 12\cdot 11=529$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 23}{24}$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{11}{12}$$
Тогда
$$12x^2+x-11<0 \quad \Rightarrow \quad -1<x<\frac{11}{12}$$
Ответ совпадает с областью определения, поэтому
$$x\in\left(-1;\,\frac{11}{12}\right)$$
$$\sqrt[7]{1-x^2-x^3}\le 1$$
Так как корень нечётной степени, возведём обе части в седьмую степень:
$$1-x^2-x^3\le 1$$
$$-x^2-x^3\le 0$$
$$x^2(x+1)\ge 0$$
Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x\ge -1$$
Следовательно,
$$x\in[-1;\,+\infty)$$
Ответ
а) $$x\in(-2;\,2-\sqrt7]\cup[2+\sqrt7;\,6)$$; б) $$x\in\{0\}\cup[2;\,+\infty)$$; в) $$x\in\left(-1;\,\frac{11}{12}\right)$$; г) $$x\in[-1;\,+\infty)$$.
