Упр.30.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.32. а) корень 2 — х + корень 3 степени -10 — х = 0; б) корень 2х — 1 + корень 3 степени х + 1 = 3.

а) Пусть

$$\sqrt{2-x}+\sqrt[3]{-10-x}=0.$$

Перенесём один корень вправо:

$$\sqrt{2-x}=\sqrt[3]{10+x}.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{2-x}, \qquad g(x)=\sqrt[3]{10+x}.$$

На области определения $$x\le 2$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Значит, уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=-2$$:

$$\sqrt{2-(-2)}+\sqrt[3]{-10-(-2)}=\sqrt4+\sqrt[3]{-8}=2-2=0.$$

Следовательно, $$x=-2$$ — корень уравнения.

б) Пусть

$$\sqrt{2x-1}+\sqrt[3]{x+7}=3.$$

Перенесём кубический корень вправо:

$$\sqrt{2x-1}=3-\sqrt[3]{x+7}.$$

Область определения: $$2x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge \frac12.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{2x-1}, \qquad g(x)=3-\sqrt[3]{x+7}.$$

На области определения функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Проверим значение $$x=1$$:

$$\sqrt{2\cdot 1-1}+\sqrt[3]{1+7}=\sqrt1+\sqrt[3]{8}=1+2=3.$$

Следовательно, $$x=1$$ — корень уравнения.

Ответ

а) $$-2$$; б) $$1$$.