Упр.30.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.31. а) 4(корень (1 + х) — 1)(корень (1 — х) + 1) = х; б) х + корень х + корень х + 2 + корень х2 + 2х = 3.

а) Обозначим левую часть уравнения и преобразуем её:

$$4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=x.$$

Умножим обе части на $$\sqrt{1+x}+1$$:

$$4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{1+x}+1)=x(\sqrt{1+x}+1).$$

Так как $$ (\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)=x, $$ получаем

$$4x(\sqrt{1-x}+1)=x(\sqrt{1+x}+1).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x\bigl(4\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3\bigr)=0.$$

Отсюда либо $$x=0,$$ либо

$$4\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3=0.$$

Но при $$-1\le x\le 1$$ левая часть этого уравнения не может быть равна нулю, так как

$$4\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3\ge 4\cdot 0-1+3=2>0.$$

Значит, подходит только $$x=0.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$x+\sqrt{x}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x^2+2x}=3.$$

Так как $$\sqrt{x^2+2x}=\sqrt{x(x+2)}=\sqrt{x}\sqrt{x+2},$$ то

$$x+\sqrt{x}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\sqrt{x+2}=3.$$

Сгруппируем:

$$\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)(\sqrt{x}+1)=3.$$

Умножим обе части на $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x}$$:

$$\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\bigr)(\sqrt{x}+1)=3(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}).$$

Тогда

$$2(\sqrt{x}+1)=3(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}).$$

Обозначим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$\sqrt{x+2}=\sqrt{t^2+2}.$$ Получаем стандартное уравнение, которое после преобразований даёт

$$x=\frac14.$$

Проверка показывает, что это значение подходит.

Ответ

а) $$0$$; б) $$\frac14$$.