Упр.30.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.3. а) корень х + 2 * корень 3х — 2 = 4; в) корень х — 2 * корень 3х + 7 = 4; б) корень (х + 2)(3x — 2) = 4; г) корень (x — 2)(3x + 7) корень (x-2)(3x+7) = 4.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x+2}\cdot\sqrt{3x-2}=4$$
ОДЗ:
$$x+2\ge 0,\quad 3x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac23.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\sqrt{(x+2)(3x-2)}=4 \Rightarrow (x+2)(3x-2)=16.$$
$$3x^2+4x-4=16$$
$$3x^2+4x-20=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256.$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 16}{6}$$
$$x_1=-\frac{10}{3},\quad x_2=2.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=2.$$
б) $$\sqrt{(x+2)(3x-2)}=4$$
ОДЗ:
$$ (x+2)(3x-2)\ge 0.$$
После возведения в квадрат получаем то же уравнение:
$$ (x+2)(3x-2)=16$$
$$3x^2+4x-20=0.$$
$$D=256,\quad x_{1,2}=\frac{-4\pm 16}{6}.$$
$$x_1=-\frac{10}{3},\quad x_2=2.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
в) $$\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{3x+7}=4$$
ОДЗ:
$$x-2\ge 0,\quad 3x+7\ge 0 \Rightarrow x\ge 2.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\sqrt{(x-2)(3x+7)}=4 \Rightarrow (x-2)(3x+7)=16.$$
$$3x^2+x-14-16=0$$
$$3x^2+x-30=0.$$
$$D=1+4\cdot 3\cdot 30=361.$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 19}{6}.$$
$$x_1=-\frac{10}{3},\quad x_2=3.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=3.$$
г) $$\sqrt{(x-2)(3x+7)}=4$$
ОДЗ:
$$ (x-2)(3x+7)\ge 0.$$
После возведения в квадрат получаем:
$$ (x-2)(3x+7)=16$$
$$3x^2+x-30=0.$$
$$D=361,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm 19}{6}.$$
$$x_1=-\frac{10}{3},\quad x_2=3.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.