Упр.30.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 30.29 а)корень x+7/8 + корень 8x+3 + 3=2 корень 3 степени x=6-16x; б)корень 3x+1 + 5 корень 3 степени x=20-x+корень 17-x.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x+\frac{7}{8}}+\sqrt{8x+3}+2\sqrt[3]{x}=6-16x.$$

Область определения:

$$x+\frac{7}{8}\ge 0,\quad 8x+3\ge 0,$$

откуда

$$x\ge -\frac{3}{8}.$$

Перенесём всё в одну сторону и введём функции

$$f(x)=\sqrt{x+\frac{7}{8}}+\sqrt{8x+3}+2\sqrt[3]{x},$$

$$g(x)=6-16x.$$

На области определения функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=\frac{1}{8}$$:

$$f\!\left(\frac{1}{8}\right)=\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{7}{8}}+\sqrt{8\cdot\frac{1}{8}+3}+2\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=1+2+1=4,$$

$$g\!\left(\frac{1}{8}\right)=6-16\cdot\frac{1}{8}=4.$$

Следовательно, $$x=\frac{1}{8}$$ — единственный корень.

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x}=20-x+\sqrt{17-x}.$$

Область определения:

$$3x+1\ge 0,\quad 17-x\ge 0,$$

то есть

$$-\frac{1}{3}\le x\le 17.$$

Введём функции

$$f(x)=\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x},$$

$$g(x)=20-x+\sqrt{17-x}.$$

На отрезке $$\left[-\frac{1}{3};17\right]$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит уравнение имеет не более одного корня.

Проверим значение $$x=8$$:

$$f(8)=\sqrt{3\cdot 8+1}+5\sqrt[3]{8}=\sqrt{25}+5\cdot 2=5+10=15,$$

$$g(8)=20-8+\sqrt{17-8}=12+3=15.$$

Следовательно, $$x=8$$ — единственный корень.

Ответ

а) $$\frac{1}{8}$$; б) $$8$$.