Упр.30.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.28. а) корень х + корень x + 5 = 9 — х; б) 3 корень х + 2 + 5 корень 3х + 10 = 30 — 2х.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x}+\sqrt{x+5}=9-x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Левая часть возрастает при $$x\ge 0,$$ а правая часть убывает при $$x\ge 0,$$ значит, уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=4$$:

$$\sqrt{4}+\sqrt{4+5}=2+3=5,$$

$$9-4=5.$$

Следовательно, $$x=4$$ — корень уравнения.

б) Рассмотрим уравнение

$$3\sqrt{x+2}+5\sqrt{3x+10}=30-2x.$$

Область определения:

$$x+2\ge 0,\quad 3x+10\ge 0,$$

откуда

$$x\ge -2,\quad x\ge -\frac{10}{3}.$$

Значит, $$x\ge -2.$$

Левая часть возрастает при $$x\ge -2,$$ а правая часть убывает при $$x\ge -2,$$ поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Проверим значение $$x=2$$:

$$3\sqrt{2+2}+5\sqrt{3\cdot 2+10}=3\cdot 2+5\cdot 4=6+20=26,$$

$$30-2\cdot 2=26.$$

Следовательно, $$x=2$$ — корень уравнения.

Ответ

а) $$4$$; б) $$2$$.