Упр.30.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Обозначим $$y=\sqrt{\lg x-1}.$$ Тогда $$y\ge 0$$ и исходное уравнение принимает вид

$$\sqrt{(y+1)^2}+\sqrt{(y-1)^2}=y^2.$$

То есть

$$|y+1|+|y-1|=y^2.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$y\ge 1,$$ то

$$y+1+y-1=y^2,$$

$$2y=y^2,$$

$$y(y-2)=0.$$

С учётом условия $$y\ge 1$$ получаем $$y=2.$$

2) Если $$0\le y<1,$$ то

$$y+1+1-y=y^2,$$

$$2=y^2,$$

$$y=\sqrt2.$$

Но $$\sqrt2>1,$$ значит этот случай не подходит.

Тогда

$$\sqrt{\lg x-1}=2,$$

$$\lg x-1=4,$$

$$\lg x=5,$$

$$x=10^5.$$

б) Обозначим $$y=\sqrt{5^x+7}.$$ Тогда $$y\ge 0,$$ а также

$$5^x+8+2\sqrt{5^x+7}=y^2+1+2y=(y+1)^2,$$

$$5^x+1-\sqrt{5^x+7}=y^2-6-y.$$

Уравнение перепишется так:

$$\sqrt{(y+1)^2}+\sqrt{y^2-y-6}=4,$$

то есть

$$|y+1|+\sqrt{y^2-y-6}=4.$$

Так как $$y\ge 0,$$ то $$|y+1|=y+1.$$ Получаем

$$y+1+\sqrt{y^2-y-6}=4,$$

$$\sqrt{y^2-y-6}=3-y.$$

Отсюда обязательно $$3-y\ge 0,$$ то есть $$y\le 3.$$ Возводим в квадрат:

$$y^2-y-6=(3-y)^2,$$

$$y^2-y-6=9-6y+y^2,$$

$$5y=15,$$

$$y=3.$$

Тогда

$$\sqrt{5^x+7}=3,$$

$$5^x+7=9,$$

$$5^x=2,$$

$$x=\log_5 2.$$

Ответ

а) $$10^5$$; б) $$\log_5 2$$.