Упр.30.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

$$\sqrt[3]{x+7}+\sqrt[3]{28-x}=5$$
Пусть $$a=\sqrt[3]{x+7}$$, $$b=\sqrt[3]{28-x}$$. Тогда
$$a+b=5,$$
$$a^3+b^3=(x+7)+(28-x)=35.$$
Подставим $$a=5-b$$:
$$ (5-b)^3+b^3=35 $$
$$ 125-75b+15b^2-b^3+b^3=35 $$
$$ 15b^2-75b+90=0 $$
$$ b^2-5b+6=0 $$
$$ (b-2)(b-3)=0 $$
Отсюда $$b=2$$ или $$b=3$$.
Если $$b=2$$, то
$$ \sqrt[3]{28-x}=2 \Rightarrow 28-x=8 \Rightarrow x=20. $$
Если $$b=3$$, то
$$ \sqrt[3]{28-x}=3 \Rightarrow 28-x=27 \Rightarrow x=1. $$
$$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x-3}=\sqrt[3]{12(x-1)}$$
Пусть $$a=\sqrt[3]{x}$$, $$b=\sqrt[3]{2x-3}$$. Тогда
$$a+b=\sqrt[3]{12(x-1)}.$$
Возведём в куб:
$$ (a+b)^3=12(x-1) $$
$$ a^3+b^3+3ab(a+b)=12(x-1) $$
$$ x+(2x-3)+3\sqrt[3]{x(2x-3)}\cdot \sqrt[3]{12(x-1)}=12x-12 $$
Так как $$a^3+b^3=3(x-1),$$ получаем
$$ 3\sqrt[3]{x(2x-3)}\cdot \sqrt[3]{12(x-1)}=9(x-1) $$
$$ \sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)}=3\sqrt[3]{(x-1)^3} $$
$$ 12x(2x-3)(x-1)=27(x-1)^3 $$
$$ (x-1)\bigl(12x(2x-3)-27(x-1)^2\bigr)=0 $$
$$ (x-1)(-3x^2+18x-27)=0 $$
$$ -3(x-1)(x^2-6x+9)=0 $$
$$ -3(x-1)(x-3)^2=0 $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=3$$.
$$\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt[3]{x^2+18}=5$$
Пусть $$a=\sqrt[3]{x^2-1}$$, $$b=\sqrt[3]{x^2+18}$$. Тогда
$$a+b=5,$$
$$a^3-b^3=(x^2-1)-(x^2+18)=-19.$$
Подставим $$a=5-b$$:
$$ (5-b)^3-b^3=-19 $$
$$ 125-75b+15b^2-2b^3=-19 $$
$$ 2b^3-15b^2+75b-144=0 $$
$$ (b-3)(2b^2-9b+48)=0 $$
У квадратного уравнения $$2b^2-9b+48=0$$ дискриминант
$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 48=81-384=-303<0,$$
поэтому $$b=3$$.
Тогда
$$ \sqrt[3]{x^2+18}=3 \Rightarrow x^2+18=27 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3. $$
$$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x-8}$$
Обозначим $$a=\sqrt[3]{x}$$, $$b=\sqrt[3]{x-16}$$. Тогда
$$a+b=\sqrt[3]{x-8}.$$
Возведём в куб:
$$ (a+b)^3=x-8 $$
$$ x+(x-16)+3\sqrt[3]{x(x-16)}\cdot \sqrt[3]{x-8}=x-8 $$
После преобразований получаем
$$ 27x(x-16)(x-8)=(8-x)^3 $$
$$ (x-8)\bigl(27x(x-16)+(x-8)^2\bigr)=0 $$
$$ (x-8)(28x^2-448x+64)=0 $$
$$ 7x^2-112x+16=0 $$
Решаем квадратное уравнение:
$$ D=112^2-4\cdot 7\cdot 16=12544-448=12096 $$
$$ x=\frac{112\pm \sqrt{12096}}{14}=\frac{112\pm 24\sqrt{21}}{14}=8\pm \frac{12\sqrt{21}}{7}. $$
Также из первого множителя получаем $$x=8$$.