Упр.30.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.25. а) корень (х + 2 корень (х — 1)) + корень (х — 2 корень (х — 1)) = х — 1; б) корень (х + 8 + 2 корнь (х + 7)) + корень (х + 1 — корень (х + 7)) = 4.

а) Введём замену $$t=\sqrt{x-1}, \quad t\ge 0.$$ Тогда $$x=t^2+1.$$

Уравнение принимает вид

$$\sqrt{t^2+1+2t}+\sqrt{t^2+1-2t}=t^2.$$

Так как $$t\ge 0,$$ получаем

$$|t+1|+|t-1|=t^2.$$

При $$t\ge 0$$ имеем $$|t+1|=t+1,$$ значит

$$t+1+|t-1|=t^2,$$

$$|t-1|=t^2-t-1.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$t\ge 1,$$ то $$|t-1|=t-1,$$ и тогда

$$t-1=t^2-t-1,$$

$$t^2-2t=0,$$

$$t(t-2)=0.$$

С учётом условия $$t\ge 1$$ получаем $$t=2.$$

2) Если $$0\le t<1,$$ то $$|t-1|=1-t,$$ и тогда

$$1-t=t^2-t-1,$$

$$t^2=2,$$

что не подходит, так как при $$0\le t<1$$ это невозможно.

Значит, $$t=2,$$ откуда

$$\sqrt{x-1}=2,$$

$$x-1=4,$$

$$x=5.$$

б) Введём замену $$t=\sqrt{x+7}, \quad t\ge 0.$$ Тогда $$x=t^2-7.$$

Уравнение преобразуется к виду

$$\sqrt{t^2+8+2t}+\sqrt{t^2+1-t}=4.$$

Запишем подкоренные выражения:

$$t^2+8+2t=(t+1)^2+6,$$

$$t^2+1-t=t^2-t-6=(t+2)(t-3).$$

Удобнее сразу использовать замену из исходного решения:

$$\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{t^2-t-6}=4,$$

то есть

$$t+1+\sqrt{t^2-t-6}=4.$$

Тогда

$$\sqrt{t^2-t-6}=3-t.$$

Правая часть неотрицательна, значит $$t\le 3.$$ Возведём в квадрат:

$$t^2-t-6=(3-t)^2,$$

$$t^2-t-6=t^2-6t+9,$$

$$5t=15,$$

$$t=3.$$

Проверка: $$3\le 3,$$ значит решение подходит. Тогда

$$\sqrt{x+7}=3,$$

$$x+7=9,$$

$$x=2.$$

Ответ

а) $$5$$; б) $$2$$.