Упр.30.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.24. а) корень |-2x+42| + 42| = 2х;б) корень |5 + 12 * 3х — 9х | = 3х — 7.

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем уравнение

$$\sqrt{|-t+42|}=t.$$

Возведём в квадрат:

$$|-t+42|=t^2.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$-t+42=t^2.$$ Тогда

$$t^2+t-42=0,$$

$$D=1+168=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 13}{2}.$$

Отсюда $$t_1=6,$$ $$t_2=-7.$$ Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=6.$$ Тогда

$$2^x=6,$$

$$x=\log_2 6.$$

2) $$-t+42=-t^2.$$ Тогда

$$t^2-t-42=0,$$

$$D=1+168=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 13}{2}.$$

Получаем $$t=7$$ или $$t=-6,$$ но при подстановке в исходное уравнение случай $$-t+42=-t^2$$ не даёт действительных решений. Значит, дополнительных решений нет.

б) Обозначим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$ Имеем

$$\sqrt{|5+12t-t^2|}=t-7.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$t-7\ge 0,$$ то есть $$t\ge 7.$$ Возведём в квадрат:

$$|5+12t-t^2|=(t-7)^2.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$5+12t-t^2=(t-7)^2.$$ Тогда

$$5+12t-t^2=t^2-14t+49,$$

$$2t^2-26t+44=0,$$

$$t^2-13t+22=0,$$

$$D=169-88=81,$$

$$t_{1,2}=\frac{13\pm 9}{2}.$$

Получаем $$t=2$$ или $$t=11.$$ Условию $$t\ge 7$$ удовлетворяет только $$t=11.$$ Тогда