Упр.30.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.23. a)корень -2x + 20 = 2х; б) корень 5 + 12 * 3x — 9x = 3х — 7; в) корень 7 — 0,5х = 0,5х — 1; г) 5 корень 36х — 2 = 4(x+1) * 9х — 14.

Подробный ответ

$$\sqrt{-2^x+20}=2^x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$-2^x+20=2^{2x}$$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$-t+20=t^2$$
$$t^2+t-20=0$$
$$D=1+80=81$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}$$
$$t_1=-5,\quad t_2=4$$
Так как $$t>0$$, подходит только $$t=4$$. Тогда
$$2^x=4$$
$$x=2$$
$$\sqrt{5+12\cdot 3^x-9^x}=3^x-7$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$, $$9^x=t^2$$. Получаем:
$$\sqrt{5+12t-t^2}=t-7$$
ОДЗ: $$t-7\ge 0$$, то есть $$t\ge 7$$.
Возведём в квадрат:
$$5+12t-t^2=(t-7)^2$$
$$5+12t-t^2=t^2-14t+49$$
$$2t^2-26t+44=0$$
$$t^2-13t+22=0$$
$$D=169-88=81$$
$$t_{1,2}=\frac{13\pm 9}{2}$$
$$t_1=11,\quad t_2=2$$
С учётом ОДЗ подходит только $$t=11$$. Тогда
$$3^x=11$$
$$x=\log_3 11$$
$$\sqrt{7-0{,}5^x}=0{,}5^x-1$$
Положим $$t=0{,}5^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем:
$$\sqrt{7-t}=t-1$$
ОДЗ: $$t-1\ge 0$$, то есть $$t\ge 1$$.
Возведём в квадрат:
$$7-t=(t-1)^2$$
$$7-t=t^2-2t+1$$
$$t^2-t-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$t_1=3,\quad t_2=-2$$
С учётом ОДЗ подходит только $$t=3$$. Тогда
$$0{,}5^x=3$$
$$x=\log_{0{,}5}3$$
$$5\sqrt{36^x-2}=4^{x+1}\cdot 9^x-14$$
Преобразуем правую часть:
$$4^{x+1}\cdot 9^x=4\cdot 4^x\cdot 9^x=4\cdot 36^x$$
Положим $$t=36^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем:
$$5\sqrt{t-2}=4t-14$$
ОДЗ: $$t-2\ge 0$$ и $$4t-14\ge 0$$, значит $$t\ge \frac{7}{2}$$.
Возведём в квадрат:
$$25(t-2)=(4t-14)^2$$
$$25t-50=16t^2-112t+196$$
$$16t^2-137t+246=0$$
$$D=137^2-4\cdot 16\cdot 246=3025$$
$$t_{1,2}=\frac{137\pm 55}{32}$$
$$t_1=6,\quad t_2=\frac{41}{16}$$
С учётом ОДЗ подходит только $$t=6$$. Тогда
$$36^x=6$$
$$x=\frac12$$