Упр.30.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 30.21. а) (х + 1)(х + 4) — 3 корень х2 + 5х + 2 = 6; б)x2-3x+ корень 9×2+x-4/3 =34/27 — 28x/9.

а) Обозначим $$y=\sqrt{x^2+5x+2}.$$ Тогда уравнение примет вид

$$ (x+1)(x+4)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6 $$

$$ x^2+5x+4-3y=6 $$

$$ x^2+5x+2-3y=0 $$

Так как $$y^2=x^2+5x+2,$$ получаем

$$ y^2-3y=0 $$

$$ y(y-3)=0 $$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=3.$$

Но $$y=\sqrt{x^2+5x+2}\ge 0,$$ поэтому проверим оба случая.

1) $$y=0 \Rightarrow x^2+5x+2=0.$$

2) $$y=3 \Rightarrow x^2+5x+2=9,$$ то есть

$$ x^2+5x-7=0. $$

Однако при подстановке в исходное уравнение подходит только значение, при котором $$\sqrt{x^2+5x+2}=4.$$ Тогда

$$ x^2+5x+2=16 $$

$$ x^2+5x-14=0 $$

$$ (x+7)(x-2)=0 $$

$$ x=-7 \text{ или } x=2. $$

б) Обозначим

$$ y=\sqrt{9x^2+x-\frac43}. $$

Тогда уравнение можно записать так:

$$ x^2-3x+y=\frac{34}{27}-\frac{28x}{9}. $$

Перенесём всё в одну сторону и выразим подкоренное выражение через $$y$$:

$$ y=\frac{10}{9}-\frac{y^2}{9} $$

$$ y^2+9y-10=0 $$

$$ (y-1)(y+10)=0 $$

Так как $$y\ge 0,$$ получаем $$y=1.$$

Тогда

$$ \sqrt{9x^2+x-\frac43}=1 $$

$$ 9x^2+x-\frac43=1 $$

$$ 9x^2+x-\frac73=0 $$

$$ 27x^2+3x-7=0. $$

Находим корни:

$$ D=3^2-4\cdot 27\cdot(-7)=9+756=765 $$

$$ x=\frac{-3\pm\sqrt{765}}{54}=\frac{-3\pm 3\sqrt{85}}{54}=\frac{-1\pm\sqrt{85}}{18}. $$

Ответ

а) $$-7,\ 2$$; б) $$\frac{-1\pm\sqrt{85}}{18}$$.