Упр.30.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.20 а)корень (2x+3)/(2x-1) + 4* корень (2x-1)/(2x+3)=4; б)5*корень (x+3)/(5x-1) + корень (5x-1)/(x+3)=6.

а) Обозначим

$$y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}, \quad y>0.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$y+\frac{4}{y}=4.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-4y+4=0,$$

$$\left(y-2\right)^2=0,$$

$$y=2.$$

Возвращаемся к замене:

$$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=2,$$

$$\frac{2x+3}{2x-1}=4,$$

$$2x+3=8x-4,$$

$$6x=7,$$

$$x=\frac{7}{6}.$$

Проверка области допустимых значений: $$2x-1\neq 0,$$ $$\frac{2x+3}{2x-1}\ge 0.$$ Найденное значение подходит.

б) Обозначим

$$y=\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}, \quad y>0.$$

Тогда

$$5y+\frac{1}{y}=6.$$

Умножим на $$y$$:

$$5y^2-6y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=6^2-4\cdot 5\cdot 1=36-20=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\quad y_2=\frac{1}{5}.$$

1) Если $$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=1,$$ то

$$\frac{5x-1}{x+3}=1,$$

$$5x-1=x+3,$$

$$4x=4,$$

$$x=1.$$

2) Если $$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=\frac{1}{5},$$ то

$$\frac{5x-1}{x+3}=\frac{1}{25},$$

$$25(5x-1)=x+3,$$

$$125x-25=x+3,$$

$$124x=28,$$

$$x=\frac{7}{31}.$$

Проверка ОДЗ: $$x\neq -3,$$ $$5x-1\ge 0,$$ $$x+3$$ и $$5x-1$$ должны иметь одинаковый знак. Оба найденных значения подходят.

Ответ

а) $$x=\frac{7}{6}$$; б) $$x=1,\ \frac{7}{31}$$.