Упр.30.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 030.19. а) корень х = х — 6; б) корень х2 + х = 2(х2 + х) — 3; в) корень 5 — х = х + 1; г) х + 13 + корень 18х2 — х — 1 = 18х2.

Подробный ответ

$$\sqrt{x}=x-6.$$
ОДЗ: $$x-6\ge 0,\quad x\ge 6.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x=(x-6)^2$$
$$x=x^2-12x+36$$
$$x^2-13x+36=0$$
$$D=13^2-4\cdot 36=169-144=25.$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2}$$
$$x_1=9,\quad x_2=4.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=9.$$
$$\sqrt{x^2+x}=2(x^2+x)-3.$$
Пусть $$t=x^2+x.$$ Тогда
$$\sqrt{t}=2t-3.$$
ОДЗ: $$t\ge 0,\quad 2t-3\ge 0,\quad t\ge \frac{3}{2}.$$
Возведём в квадрат:
$$t=(2t-3)^2$$
$$t=4t^2-12t+9$$
$$4t^2-13t+9=0.$$
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=169-144=25.$$
$$t_{1,2}=\frac{13\pm 5}{8}$$
$$t_1=\frac{9}{4},\quad t_2=1.$$
Значение $$t=1$$ не подходит, так как $$t\ge \frac{3}{2}.$$ Поэтому
$$x^2+x=\frac{9}{4}$$
$$4x^2+4x-9=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-9)=16+144=160.$$
$$x=\frac{-4\pm \sqrt{160}}{8}=\frac{-4\pm 4\sqrt{10}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}.$$
$$\sqrt{5-x}=x+1.$$
ОДЗ: $$5-x\ge 0,\quad x+1\ge 0,$$ то есть $$-1\le x\le 5.$$
Возведём в квадрат:
$$5-x=(x+1)^2$$
$$5-x=x^2+2x+1$$
$$x^2+3x-4=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=-4.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=1.$$
$$x+13+\sqrt{18x^2-x-1}=18x^2.$$
Перенесём:
$$\sqrt{18x^2-x-1}=18x^2-x-13.$$
Пусть $$t=18x^2-x-1.$$ Тогда
$$\sqrt{t}=t-12.$$
ОДЗ: $$t\ge 0,\quad t-12\ge 0,\quad t\ge 12.$$
Возведём в квадрат:
$$t=(t-12)^2$$
$$t=t^2-24t+144$$
$$t^2-25t+144=0.$$
$$D=25^2-4\cdot 144=625-576=49.$$
$$t_{1,2}=\frac{25\pm 7}{2}$$
$$t_1=16,\quad t_2=9.$$
Так как $$t\ge 12,$$ подходит только $$t=16.$$ Тогда
$$18x^2-x-1=16$$
$$18x^2-x-17=0.$$
$$D=1+4\cdot 18\cdot 17=1+1224=1225.$$
$$x=\frac{1\pm 35}{36}.$$
$$x_1=1,\quad x_2=-\frac{17}{18}.$$