Упр.30.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.18. а) корень 3х2 — 2х + 15 + корень 3х2 — 2х + 8 = 7; б) корень х2 + х + 4 + корень х2 + х + 1 = корень 2х2 + 2х + 9; в) корень х2 — Зх + 3 + корень х2 — 3х + 6 = 3; г) корень х2 + х + 7 + корень х2 + х + 2 = корень 3х2 + 3х + 19.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=3x^2-2x+8$$, тогда $$3x^2-2x+15=y+7$$ и уравнение принимает вид
$$\sqrt{y+7}+\sqrt{y}=7.$$
Возведём в квадрат:
$$y+7+y+2\sqrt{y(y+7)}=49,$$
$$2\sqrt{y^2+7y}=42-2y,$$
$$\sqrt{y^2+7y}=21-y.$$
Снова возведём в квадрат:
$$y^2+7y=(21-y)^2=441-42y+y^2,$$
$$49y=441,$$
$$y=9.$$
Тогда
$$3x^2-2x+8=9,$$
$$3x^2-2x-1=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
$$x=\frac{2\pm 4}{6}.$$
Получаем
$$x_1=1,\quad x_2=-\frac13.$$
б) Пусть $$y=x^2+x+1$$, тогда $$x^2+x+4=y+3$$ и
$$\sqrt{y+3}+\sqrt{y}=\sqrt{2y+7}.$$
Возведём в квадрат:
$$y+3+y+2\sqrt{y(y+3)}=2y+7,$$
$$2\sqrt{y^2+3y}=4,$$
$$\sqrt{y^2+3y}=2.$$
Тогда
$$y^2+3y=4,$$
$$y^2+3y-4=0,$$
$$D=3^2+16=25,$$
$$y=\frac{-3\pm 5}{2}.$$
Отсюда
$$y_1=1,\quad y_2=-4.$$
Возвращаемся к замене:
$$x^2+x+1=1 \Rightarrow x^2+x=0 \Rightarrow x(x+1)=0,$$
$$x=-1,\;0.$$
Значение $$y=-4$$ не подходит, так как $$x^2+x+1=-4 \Rightarrow x^2+x+5=0$$ не имеет действительных корней.
в) Пусть $$y=x^2-3x+3$$, тогда $$x^2-3x+6=y+3$$ и
$$\sqrt{y}+\sqrt{y+3}=3.$$
Возведём в квадрат:
$$y+y+3+2\sqrt{y(y+3)}=9,$$
$$2\sqrt{y^2+3y}=6-2y,$$
$$\sqrt{y^2+3y}=3-y.$$
Тогда
$$y^2+3y=(3-y)^2=9-6y+y^2,$$
$$9y=9,$$
$$y=1.$$
Следовательно,
$$x^2-3x+3=1,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$x=\frac{3\pm 1}{2}.$$
Получаем
$$x_1=1,\quad x_2=2.$$
г) Пусть $$y=x^2+x+2$$, тогда $$x^2+x+7=y+5$$ и
$$\sqrt{y+5}+\sqrt{y}=\sqrt{3y+13}.$$
Возведём в квадрат:
$$y+5+y+2\sqrt{y(y+5)}=3y+13,$$
$$2\sqrt{y^2+5y}=y+8,$$
$$4(y^2+5y)=(y+8)^2,$$
$$4y^2+20y=y^2+16y+64,$$
$$3y^2+4y-64=0.$$
$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 64=784,$$
$$y=\frac{-4\pm 28}{6}.$$
Отсюда
$$y_1=4,\quad y_2=-\frac{16}{3}.$$
Значение $$y=-\frac{16}{3}$$ не подходит, так как $$y=x^2+x+2\ge \frac74.$$
Тогда
$$x^2+x+2=4,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
Получаем
$$x_1=1,\quad x_2=-2.$$