Упр.30.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 30.17. a) корень x+1 — корень 9 — x = корень 2х — 12; б) корень х — корень х + 1 + корень х + 9 — корень х + 4 = 0; в) корень 2х + 5 + корень 5х + 6 = корень 12х + 25; г) корень (5 +корень 3 степени (x)) + к корень (5 -корень 3 степени (x)) = корень 3 степени x.

1. а) $$\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}$$

   Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:

   $$\sqrt{x+1}=\sqrt{2x-12}+\sqrt{9-x}$$

   $$x+1=(2x-12)+(9-x)+2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$

   $$x+1=x-3+2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$

   $$4=2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$

   $$2=\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$

   $$4=(2x-12)(9-x)$$

   $$4=18x-2x^2-108+12x$$

   $$2x^2-30x+112=0$$

   $$x^2-15x+56=0$$

   $$D=15^2-4\cdot 56=1$$

   $$x_{1,2}=\frac{15\pm 1}{2}$$

   $$x_1=7,\quad x_2=8$$

   Проверка области определения:

   $$x+1\ge 0,\quad 9-x\ge 0,\quad 2x-12\ge 0$$

   $$x\ge -1,\quad x\le 9,\quad x\ge 6$$

   Оба корня подходят.

2. б) $$\sqrt{x}-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+9}-\sqrt{x+4}=0$$

   Перенесём корни в разные части:

   $$\sqrt{x}+\sqrt{x+9}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+x+9+2\sqrt{x(x+9)}=x+1+x+4+2\sqrt{(x+1)(x+4)}$$

   $$2\sqrt{x^2+9x}+9=2x+5+2\sqrt{x^2+5x+4}$$

   После преобразований получаем:

   $$\sqrt{x^2+9x}=-x$$

   $$x^2+9x=x^2$$

   $$9x=0$$

   $$x=0$$

   Проверка области определения:

   $$x\ge 0$$

   Значит, решение подходит.

3. в) $$\sqrt{2x+5}+\sqrt{5x+6}=\sqrt{12x+25}$$

   Возведём в квадрат:

   $$2x+5+5x+6+2\sqrt{(2x+5)(5x+6)}=12x+25$$

   $$2\sqrt{10x^2+37x+30}=5x+14$$

   $$4(10x^2+37x+30)=(5x+14)^2$$

   $$40x^2+148x+120=25x^2+140x+196$$

   $$15x^2+8x-76=0$$

   $$D=8^2+4\cdot 15\cdot 76=4624$$

   $$x_{1,2}=\frac{-8\pm 68}{30}$$

   $$x_1=2,\quad x_2=-\frac{38}{15}$$

   Область определения:

   $$2x+5\ge 0,\quad 5x+6\ge 0,\quad 12x+25\ge 0$$

   $$x\ge -\frac52,\quad x\ge -\frac65,\quad x\ge -\frac{25}{12}$$

   Подходит только $$x=2$$.

4. г) $$\sqrt{5+\sqrt[3]{x}}+\sqrt{5-\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{x}$$

   Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}$$. Тогда:

   $$\sqrt{5+t}+\sqrt{5-t}=t$$

   Возведём в квадрат:

   $$5+t+5-t+2\sqrt{(5+t)(5-t)}=t^2$$

   $$10+2\sqrt{25-t^2}=t^2$$

   $$4(25-t^2)=t^4-20t^2+100$$

   $$100-4t^2=t^4-20t^2+100$$

   $$t^4-16t^2=0$$

   $$t^2(t^2-16)=0$$

   $$t=0,\quad t=4,\quad t=-4$$

   С учётом области определения и проверки получаем только $$t=4$$, значит:

   $$\sqrt[3]{x}=4$$

   $$x=64$$

Ответ

а) $$7; 8$$; б) $$0$$; в) $$2$$; г) $$64$$.